얼음 덩어리부터 별까지
얼음 덩어리, 흔들리는 다리 및 먼 별은 모두 에너지를 포함합니다. 이 단위는 분자 운동, 원자핵 변화, 진동 및 천문학적 관측을 연결합니다. 과제는 단순히 숫자를 계산하는 것이 아니라 주장을 검증하는 것입니다: 모델을 명시하고 계산 과정에서 단위를 유지한 뒤, 결과를 주장과 비교하십시오.
WPH15 covers statements 125–171 of Pearson Issue 3. It also uses Units 1, 2 and 4. Work through sheets 5.1–5.9 before their matching authentic sets. Use the supplied constants consistently: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ and $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ unless the question gives a different local value. Here $k_B$ is the Boltzmann constant; $k_s$ denotes a spring constant.
가열, 상변화 및 열저항기 보정
온도뿐만 아니라 에너지를 따르십시오
내부 에너지는 분자의 무작위 운동 및 상호작용에 포함된 총 에너지입니다: 무작위 운동 에너지와 분자 간 위치 에너지의 합입니다. 전체 물체가 함께 움직이는 운동 에너지는 제외됩니다. 온도는 평균 무작위 분자 운동 에너지와 관련이 있지, 내부 에너지 총량이 아닙니다. 같은 온도의 두 시료는 양상과 상태가 다르므로 내부 에너지가 다를 수 있습니다.
Specific heat capacity $c$ is the energy needed per kilogram for a one-kelvin temperature rise without a change of state. Specific latent heat $L$ is the energy transferred per kilogram during a particular change of state at constant temperature.
A temperature difference of $1\ ^\circ\mathrm C$ equals a difference of $1\ \mathrm K$. Absolute temperatures in gas and radiation laws must be kelvin. During melting or boiling, energy changes molecular arrangements and potential energy while temperature remains constant in the ideal constant-pressure phase change. An ice pack absorbs energy from the food/surroundings as it melts. It does not send “cold energy” into the food.
가열 출력이 일정할 때, 열 손실이 무시할 수 있을 경우 더 가파른 온도-시간 기울기는 더 작은 $mc$을 의미한다. 평평한 구간은 에너지 전달이 멈췄음을 뜻하지 않는다. 히터의 경우 입력 에너지는 $E_{\rm in}=Pt=VIt$이며, 에너지가 주변으로 누출되므로 유효한 열 에너지는 작을 수 있다.
worked example. $0.40\ \mathrm{kg}$ 크기의 얼음이 $-10\ ^\circ\mathrm C$에서 시작하여 $0\ ^\circ\mathrm C$의 물로 녹는다. $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$과 $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$을 사용하여 계산하라.
알고 있는 것: 질량, 초기/최종 온도 및 물질 상수. 이유: 고체의 가열과 융해는 서로 다른 에너지 전달 과정이다.
worked example. $1000\ \mathrm W$ 출력의 히터가 $600\ \mathrm s$ 동안 물 $0.20\ \mathrm{kg}$을 끓여 증발시킨다. $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$을 사용하여 효율을 구하라.
반복적인 주전자 사용 시 총 물의 부피, 사용 횟수 및 총 작동 시간을 계산하십시오. 동일한 시간 구간 내의 에너지를 비교하십시오. 하루 standby 손실과 물을 끓이는 데 필요한 입력 에너지는 서로 다른 양입니다. 특정 비교가 실제로 무엇을 입증하는지 명시하십시오.
CP12: 서모스탯 보정
서미스터는 온도에 따라 저항이 변하는 소자이다. 일반적인 음의 온도 계수(NTC) 서미스터는 가열될 때 저항이 감소한다. 전위 분배기 내에서:
서미스터를 하단 저항기로 사용하고 그 양끝 전압을 측정하면, 가열될 때 출력 전압이 감소한다. 저항기 위치를 바꿀면 이 경향이 반대로 나타난다. 서모스탯은 선택된 출력 임계값에서 스위칭되며, 분배기만으로는 완전한 스위칭 장치가 아니다.
For core practical 12, place the thermistor and a reference thermometer close together in a stirred water bath. Keep electrical contacts dry and insulated. At several temperatures across the intended range, wait for thermal equilibrium and record temperature and divider voltage. Keep supply voltage and fixed resistance unchanged. Use a high-input-resistance voltmeter to reduce loading. Plot output against temperature and interpolate the voltage for the chosen switching temperature. Repeat readings or compare warming/cooling to reveal lag. Do not assume a linear calibration without evidence. Use low-voltage electricity and take care with hot water.
CP13: 잠열 측정
상전이 중인 물질에 정량된 전기 출력을 공급하라. 조건이 안정화된 후 시간 경과에 따라 융해되거나 증발된 질량을 측정하라. 저울은 질량 변화를 측정하므로,-modeled liquid volume과 질량을 혼동하지 마라. 손실 보정 없이 $L=VIt/\Delta m$을 계산하면 모든 입력 에너지가 상전이에 사용되었다고 가정한다.
유용한 보정은 동일한 일정한 상전이 온도에서 두 가지 출력을 비교하는 것이다. 열 손실 출력이 거의 일정하다고 가정하면 두 측정치의 차이를 통해 손실을 제거할 수 있다:
일정한 손실 가설을 명시하십시오. 히터 없이 녹이는 조건에서의 제어 측정은 적절한 얼음 실험에서 추가 보정 방법 중 하나일 수 있습니다. 안전할 때는 단열재로 열 손실을 줄이고, 물 튀김, 뜨거운 표면 및 위험한 mains 연결을 피하십시오.
이상 기체 및 분자 운동 에너지
켈빈과 이상 기체 모델
절대 영도는 $0\ \mathrm K$이며, 약 $-273\ ^\circ\mathrm C$이다. 이는 열역학적 온도의 하한선이다. 고전적 이상 기체 모델에서 온도가 0에 가까워질수록 평균 병진 운동 에너지는 0에 수렴한다. 실제 기체는 외삽값에 도달하기 전에 응축되므로, 모든 실제 물질의 분자가 가능한 모든 에너지를 잃는다고 주장해서는 안 된다.
Absolute temperature is measured in kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ to the precision normally used here. An ideal gas consists of particles with negligible volume, no intermolecular forces except during elastic collisions, and random motion. Pressure comes from momentum changes at walls.
Here $N$ is the number of molecules, not the number of moles. Use pressure in pascals, volume in cubic metres and temperature in kelvin. For a fixed number of molecules:
부피가 일정하면 압력은 켈빈 온도에 비례합니다. 온도가 일정하면 $pV$는 일정합니다. 게이지가 대기와-relative한 압력을 표시하는 경우 외부 압력을 포함해야 합니다.
해설 예제. 강성 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ 용기에 기체가 $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ 및 $300\ \mathrm K$ 상태에 있습니다. $N$와 $360\ \mathrm K$로 가열한 후의 압력을 구하십시오.
분자 한 개가 질량 $m_0$를 가진다면 전체 기체의 질량은 $Nm_0$입니다. 구체의 경우 먼저 $V=4\pi r^3/3$를 구해야 하며, 반지름은 지름의 절반입니다.
분자 에너지 관계 유도하기
운동론의 압력 관계식은 $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$이며, 여기서 $\langle c^2\rangle$는 제곱 평균 속도입니다. 벽에서의 탄성 운동량 변화와 세 직교 방향의 등분 제곱 운동에서 유래합니다. 제곱 평균 제곱근 속도(RMS) 는 $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$이며, 이는 평균 속도의 제곱이 아닙니다.
변 $l$인 정육면체에서, 속도 성분이 $c_x$인 분자가 탄성 충돌 시 벽의 운동량을 $2m_0c_x$만큼 변경합니다. 이 분자가 동일한 벽으로 다시 돌아오는 시간은 $2l/c_x$입니다. 따라서 평균 힘은 $m_0c_x^2/l$입니다. 모든 분자에 대해 합산하여 벽 면적 $l^2$로 나눕니다:
무작위 운동은 직교 방향 사이에서 균등하게 분포되므로 $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$입니다. 이는 위 압력 관계를 제공합니다. $pV$에 대한 두 식을 같다고 두고 $N$를 소거한 후 정리하면:
At one temperature, different gas species have equal mean translational kinetic energies, but lighter molecules have greater RMS speeds. If speed doubles at the same temperature, molecular mass is one quarter. Heating increases average molecular kinetic energy; it does not give every molecule the same speed.
CP14: 일정 온도에서의 압력과 부피
시린지 또는 압력 센서에 연결된 눈금 실린더에 일정한 양의 기체를 가두세요. 눈금을 점검하고 절대 압력을 사용하십시오. 연결 튜브의 공기 부피가 중요할 경우 포함하십시오. 부피를 천천히 변화시키고 각 변경 후 온도가 주위 온도로 돌아올 때까지 기다린 뒤 여러 압력-부피 쌍을 기록하십시오. 기체가 새지 않게 하십시오. $p$에 대한 $1/V$ 그래프는 오차 범위 내에서 원점을 지나는 직선이 되어야 합니다. $p$–$V$ 곡선은 직선이 아닙니다. 과도한 압력을 피하고 연결을 단단히 고정하십시오. 빠른 압축은 기체를 가열하여 의도한 등온 조건을 깨뜨립니다.
결합 에너지, 핵분열 및 핵융합
질량 결손은 에너지 차이입니다
원자핵은 $Z$개의 양성자와 $A-Z$개의 중성자를 포함합니다. 이 원자핵의 질량은 해당 자유 핵자의 총질량보다 작습니다. 이 질량 결손은 원자핵을 완전히 자유 핵자로 분리하는 데 필요한 결합 에너지에 해당합니다:
여기서 $c_0$는 광속이며, 비열과 구분됩니다. 통일 원자 질량 단위는 $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$입니다. 빼기 전에 모든 질량을 동일한 단위로 변환하십시오. 전자 효과를 일관되게 고려하지 않으면 핵 질량과 중성 원자 질량을 호환할 수 없습니다. 문제에서 실제로 제공한 질량을 사용하십시오.
해설 예시. 질량 결손이 $0.030\ \mathrm u$이고 $A=4$인 원자핵이 있습니다. 핵자당 결합 에너지를 구하십시오.
왜 융합과 분열 모두 에너지를 방출할 수 있는가
핵자당 결합 에너지 곡선은 경핵에서 급격히 상승하여 철/니켈 근처에서 최고점을 찍고 무거운 핵에서는 서서히 감소합니다. 핵자당 결합 에너지가 클수록 일반적으로 핵자가 더 밀집되어 있음을 의미합니다. 점들을 비교할 때는 질량수뿐만 아니라 수직 값이 중요합니다.
핵융합은 가벼운 원자핵이 결합하는 과정입니다. 핵분열은 무거운 원자핵이 더 작은 생성물로 나뉘는 현상으로, 이 과정에서 중성자가 방출되는 경우가 많습니다. 반응생성이 반응물보다 총 결합 에너지가 크고 총 정지 질량이 작을 때 에너지가 방출됩니다. 특정 반응의 경우, 핵당 값 두 개의 차이만 계산하는 것이 아니라 전체 질량 차이를 구해야 합니다. 총 에너지는 보존됩니다.
융합에는 전자기적 반발력을 극복하여 원자핵이 서로 접근할 수 있도록 충분한 운동 에너지를 부여하기 위해 매우 높은 온도가 필요합니다. 또한, 충분한 근접 충돌을 발생시켜 에너지 방출을 지속하기 위해 높은 밀도나 가두기가 요구됩니다. 온도와 밀도는 서로 다른 역할을 수행합니다. 단순히 '높은 압력'을 언급하는 것만으로는 반발력을 극복하는 과정을 설명할 수 없습니다.
방사선, 배경 및 붕괴
상호작용에 따라 방사선 선택하기
알파 방사선은 헬륨 원자핵으로 구성되며, 강하게 이온화되고 범위가 짧아 종이나 공기 몇 센티미터로 차단됩니다. 베타 방사선은 전자 또는 양전자로 구성되어 있으며, 이온화능은 약하고 투과력이 높으며 보통 알루미늄 몇 밀리미터로 차단됩니다. 감마 방사선은 전자기파로, 이온화능이 약하고 투과력이 매우 높습니다. 납이나 콘크리트는 감마선의 세기를 감소시킬 수 있으나 명확한 차단 두께를 제공하지는 않습니다.
구름 실마리(cloud chamber)에서 알파 선의 자국은 강한 이온화로 인해 주로 굵게 보이며, 베타 입자에 비해 질량이 커서 비교적 직선적으로 나타납니다. 베타 선의 자국은 더 얇고 편향되기 쉽습니다. 이 설명을 바꾸어서는 안 됩니다. 베타 방사선은 일부가 통과하고 일부가 흡수되므로 종이 두께를 측정하는 데 사용할 수 있습니다. 두께 변화는 투과된 카운트율 변화를 유발합니다.
핵반응식에서는 핵자 수와 전하 수를 보존해야 합니다. 베타-minus(β⁻) 붕괴는 중성자를 양성자로 변환하며, 질량수는 그대로 유지되고 원자 번호는 1 증가합니다. 단위 4의 예시처럼 필요할 때는 반중성미자(antineutrino)를 포함해야 합니다.
알파 붕괴는 $A$를 4만큼 줄이고 $Z$를 2만큼 줄입니다. 감마 방출은 $A$와 $Z$ 모두 변경하지 않습니다. 핵반응식은 이 두 수만을 보존하는 것이 아니라, 에너지와 운동량 역시 보존되어야 합니다.
모델 적용 전 정확한 배경 수치 확인하기
배경 복사는 암석, 우주선 및 환경 등 다양한원에서 발생합니다. 테스트 소스를 제거한 상태에서 충분히 긴 시간 동안 배경복사를 측정해야 합니다. 모든 '소스+배경' 읽음값에서 배경복사의 카운트율을 뺍니다. 카운팅 시간 단위는 일관성을 유지해야 합니다. 기하학적 배치와 검출 효율이 일정할 때만 보정된 검출기 카운트율은 소스 활동도에 비례하며, 이는 자동으로 베커렐(becquerel) 단위의 활동도를 의미하지는 않습니다.
해설 예제. 거리가 $r$일 때 검출기가 $62\ \mathrm{min^{-1}}$를 읽습니다. 여기서 배경복사는 $14\ \mathrm{min^{-1}}$입니다. 흡수가 무시 가능한 작은 등방성 감마 소스에 대해 거리 $2r$에서의 총 카운트율을 예측하십시오.
배경 radiation을 네로 나누지 마십시오. 모든 background radiation이 시험 원천에서 오는 것은 아니기 때문입니다.
무작위 사건, 예측 가능한 집단
방사성 붕괴는 자발적입니다: 외부 자극 없이 불안정한 핵이 붕괴합니다. 이는 무작위적입니다: 개별 핵의 정확한 붕괴 시간을 예측할 수 없습니다. 큰 집단은 예측 가능한 통계적 붕괴 패턴을 보입니다. 활성도 $A$은 초당 붕괴 횟수로, 베퀼렐 단위의 $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$으로 측정됩니다.
붕괴 상수 $\lambda$는 원자핵이 붕괴할 확률(단위 시간당)을 의미합니다. 반감기 $t_{1/2}$는 붕괴되지 않은 입자의 개수 또는 활동도가 평균적으로 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간입니다.
반감기가 한 번 경과하면, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$가 됩니다. 양변에 로그를 취하면:
로그-활동도-시간 그래프의 기울기는 $-\lambda$입니다. 보정한 카운트율의 로그를 취해야 하며, '소스+배경' 읽음값의 로그를 취해서는 안 됩니다. 그래프에서 여러 반감기 구간을 읽어 평균을 내야 하며, 총 카운트 0에서 시작하지 말고 보정된 활동도 수준에서 측정해야 합니다.
해설 예제. 반감기가 $3.0\ \mathrm{years}$인 소스가 있습니다. 활동도가 초기 값의 $2.0\%$로 떨어지는 시점은 언제입니까?
Use a fraction, not $2.0$ inside the logarithm. If calculating power from a radioactive source, $P=A E_{\rm decay}$, with energy per decay in joules. This is released nuclear power; useful electrical output may be smaller. Convert the half-life to seconds when activity must be in becquerels.
CP15: 납에 의한 감마선 흡수
원천, 흡수체 및 검출기를 고정 위치로 유지합니다. 배경을 측정한 후 여러 총 납 두께에 대해 동일한 알려진 간격으로 카운트를 측정합니다. 카운트가 변동하므로 카운팅 시간을 반복하거나 연장해야 합니다. 투과를 비교하기 전에 배경율을 차감하십시오. 각 동일한 두께가 동일한 분율 감쇠를 보인다면 감쇠는 지수함수적이며, 보정된 계 logarithm을 두께에 대해 그렸을 때 대략 직선이 됩니다. 반감 두께 3배의 투과율은 $1/8$이 아니라 $1/3$입니다.
재료-흡수 상수는 원자의 시간적 붕괴 상수가 아닙니다. 뺄셈 시 상대 불확도가 커지는 배경辐射 근처의 값은 피하십시오. 지정된 도구로 원천을 관리자의 감독 하에 다루고, 거리를 유지하며 노출 시간을 최소화한 후 방호 장치로 돌려보내십시오. 원천을 만지거나 사람을 향해 향하지 마십시오. 납 취급 시 청결을 유지하고 손을 씻으십시오.
단순 조화 운동, 그래프 및 에너지
복원 조건
단순 조화 운동(SHM)은 합성 가속도가 고정한 평형 위치로부터의 변위에 비례하고 그 방향으로 향할 때 발생합니다:
The negative sign is the restoring direction. Constant speed, repetition alone or a force merely pointing towards a centre does not establish SHM. For a vertically hanging spring, measure $x$ from the loaded equilibrium position. Weight is already balanced there; the resultant for displacement is $-k_sx$.
양측 최대 변위 $t=0$에서 방출할 때:
Here $A_0$ is amplitude, not radioactive activity. The phase depends on the chosen starting time; a sine displacement can describe the same motion with another origin. Differentiate graphically: the displacement–time gradient is velocity, and velocity–time gradient is acceleration. At maximum displacement, speed is zero and acceleration points back towards equilibrium. At equilibrium, speed is greatest and acceleration is zero.
해설 예제. 그래프는 진폭 $0.030\ \mathrm m$와 주기 $0.50\ \mathrm s$을 나타냅니다. 최대 속도와 가속도를 구하십시오.
또는 평형에서의 변위 그래프 접선을 통해 최대 속도를 찾을 수 있습니다. 센티미터를 미터로 변환하십시오. 음의 직선 $a$–$x$ 기울기는 $-\omega^2$이므로 제곱근 전 양수를 취하십시오.
주기와 에너지
이상적인 스프링 위의 질량 및 작은 각도의 단진동기에 대해:
진자 길이는 지지점부터 진자 중심까지입니다. 작은 각 도주기는 진자 질량에 의존하지 않습니다. 하나의 불변 스프링에 대한 주기 비는 $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$입니다. 추가 질량을 찾기 전에 전체 새로운 질량을 사용하십시오.
해설 예제. $0.50\ \mathrm{kg}$ 질량이 주기가 $0.80\ \mathrm s$입니다. 추가 질량을 더하면 같은 스프링에서 주기가 $1.00\ \mathrm s$로 증가합니다.
감쇠 없는 스프링 진동자의 경우, 에너지는 탄력적 포텐셜 에너지와 운동 에너지 사이에서 전환됩니다:
따라서 $E_k$–$x$ 그래프는 $\pm A_0$에서 0이고 $x=0$에서 양의 최대값을 갖는 아래로 볼록한 포물선입니다. $E_p$–$x$ 그래프는 위로 볼록하게 열립니다. 감쇠 없는 모델에서 이들의 합은 일정합니다. 감쇠 시스템에서는 에너지가 외부로 전달되므로 진폭이 감소합니다. 주변 환경 포함 총 에너지는 보존됩니다.
CP16: 공명으로부터 미지 질량 추론
같은 스프링/지지 시스템을 유지하십시오. 여러 알면 질량을 부착하고 작은 진동으로 구동하여 각 질량에 대한 가장 큰 정상 상태 진폭을 찾으려면 주파수를 변화시키십시오. 공명 주파수를 기록하고 각 봉우리 주변에서 천천히 반복하십시오. 가벼운 감쇠 시 자연 주파수에 근사합니다. $1/f^2$을 전체 알려진 질량에 대해 그리면 스프링 모델은 기울기 $4\pi^2/k_s$을 제공합니다. 보정을 사용하여 공명 주파수로 미지 질량을 추론하십시오.
Account for a hanger and, where significant, the effective moving mass of the spring. A nonzero intercept may represent this contribution; do not force the line through the origin without justification. Keep amplitudes small and below the elastic limit. Secure masses and stand, and keep feet clear. Measuring free periods can provide a useful independent comparison, but the specified practical uses resonant frequencies.
강제 진동, 공명 및 감쇠
자유 진동은 초기 교란 이후 지속 주기 구동 없이 이루어집니다. 강제 진동은 주기적인 구동력에 의해 유지되며, 그 정상 상태 주파수는 구동 주파수와 같습니다. 자연 주파수는 해당 조건 하에서 시스템의 자유 진동 주파수입니다.
공명은 구동 주파수가 자연 주파수와 같거나 근접할 때 발생하여 효율적인 에너지 전달과 큰 정상 상태 진폭을 제공합니다. 이는 “최대 주파수”를 의미하지 않습니다. 경감쇠 시스템의 경우 진폭 피크는 무감쇠 자연 주파수 근처에 위치합니다. 감쇠가 커지면 피크가 낮아지고 넓어지므로, 모든 감쇠된 피크를 정확히 무감쇠 자연 주파수에 위치한다고 제시해서는 안 됩니다.
Damping transfers energy away from oscillation, for example through resistive work that increases the thermal energy of dampers and surroundings. Stronger damping can reduce dangerous bridge/building motion. Plastic deformation of a ductile material also absorbs mechanical energy irreversibly; purely elastic deformation returns stored energy and is not the same mechanism.
해설 예시. 사람들이 다리에 주기적인 구동력을 공급합니다. 이 주파수가 자연 주파수에 가까우면 에너지가 다리에 효율적으로 전달되어 진폭이 증가합니다. 감쇠기는 운동에 대항하여 일을 하여 진동 에너지를 열 에너지로 변환하므로, 정상 상태 진폭이 제한됩니다. 인과 관계를 “공명, 에너지, 감쇠” 나열 방식이 아닌 다음 순서로 연결하십시오.
같은 모양과 진폭에서 가벼운 진자(pendulum)에 질량을 추가하면 저장된 기계 에너지는 증가하지만, 작은 각도 이상 기구(period)는 변하지 않습니다. 유사한 저항 손실 조건에서 한 주기당 에너지 손실 비율은 더 작을 수 있습니다. 그러나 이러한 맥락의 감쇠 비교가 모든 무거운 진동체가 항상 느리게 감쇠된다는 것을 증명하지는 않습니다.
중력장과 궤도
Field and potential have different meanings
중력장은 질량이 힘을 받는 영역입니다. 중력장 세기 $g=F/m$는 단위 시험 질량당 힘입니다. 단일 소스 질량을 향하는 벡터입니다. 점 질량에 대한 뉴턴의 법칙 또는 구 대칭 소스 외부에서는 다음과 같습니다:
$r$는 표면 위 높이가 아닌 중심 간 거리입니다. 지구 인근 국소 운동에서는 상수 $g$이 적합할 수 있습니다. 큰 반경 방향으로의 거리에서는 일정하지 않습니다.
Gravitational potential is potential energy per unit mass, with zero at infinity:
Potential is a scalar and negative at finite distance. Moving outward makes it less negative, so potential energy increases while attractive force weakens. A potential graph value and its corresponding radius give $M=-Vr/G$.
중력과 전기장은 단일 점 소스에 대해 모두 반경 방향이며, 힘의 크기는 역제곱 법칙을 따릅니다. 중력은 질량에 작용하며 이 모델에서 인력입니다. 전기력은 전하에 작용하며 인력이나 반발력이 될 수 있습니다. 전기장 방향은 양의 시험 전하에 작용하는 힘의 방향을 따르며, 음전하는 반대 방향으로 Forces됩니다.
해설 예시. $1000\ \mathrm{kg}$ 위성이 지구를 중심으로 반경 $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$에서 $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$로 이동할 때, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$의 포텐셜 에너지 변화를 구하십시오.
양수 부호는 최종값에서 초기값을 뺀 것이다. 이는 총 발사 에너지가 아니다. 운동 에너지도 변할 수 있기 때문이다. $mg\Delta h$과 일정한 표면 $g$은 이 거리에서는 부적절하다.
원궤도 유도하기
중력력이 안쪽 합력을 제공합니다:
궤도 질량은 상쇄된다. 주기는 반경에 따라 증가한다. 회전하는 행성의 특정 지점 위에 정지해 보이려면 위성은 원형 적도 궤도를 가지며, 동일한 회전 방향과 일치하는 각속도/주기를 가져야 한다. 주기만 일치하는 것만으로는 불충분하다.
풀이 예제. $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$와 주기 $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$일 때, 정지궤도 반경을 구하시오.
표면 위 높이를 묻는 경우에만 행성 반지름을 뺀다. 항성의 표면 장력을 구할 때는 나열된 지름이 아닌 반지름을 사용해야 하며, Earth 장력의 몇 배라는 주장을 검증하려면 비율을 계산해 보라.
항성 복사, 거리 및 진화
온도, 발광도 및 수신 강도
흑체는 입사 전자기 복사를 모두 흡수하며 이상적인 열방출체입니다. 연속 스펙트럼은 특정한 형태를 가집니다. 온도가 상승하면 단위 면적당 총 방출 전력이 증가하고 파장 피크가 더 짧은 파장으로 이동합니다. 스펙트럼 강도 곡선 아래의 면적은 적절한 스펙트럼 축 정의가 있을 때만 총 강도를 나타냅니다.
발광도 $L_\star$는 총 방출 전력입니다. 강도 $I$는 거리 $d$에서 수신되는 단면적당 전력입니다. 반경 $R$인 구형 흑체 항성이 모든 방향으로 균등하게 복사할 때:
첫 번째 면적은 방출 표면이며, 두 번째 면적은 확장되는 수신 구체입니다. 관측자 거리를 항성 표면적에 대입하지 마십시오. 실제 방출체는 완벽한 흑체가 아닐 수 있으며, 중간 매질이 복사를 흡수할 수도 있습니다.
Wien 상수는 단위 파장당 스펙트럼을 설명합니다. 단위 주파수당 스펙트럼으로 그렸을 때의 최대치는 단순히 $\lambda$를 $c_0/f$로 교체하여 해당 파장 최대치로 변환되지 않습니다. 시험에서 명시된 파장 피크에 해당하는 주파수가 주어졌다면, 이를 $c_0=f\lambda$를 사용하여 주파수로 변환하십시오. 해당 작업 규범을 모든 스펙트럼 그래프에 대한 일반적인 규칙으로 삼지 마십시오.
풀이 예제. 한 항성의 파장 스펙트럼이 $580\ \mathrm{nm}$에서 피크를 이루고 반경이 $7.0\times10^8\ \mathrm m$입니다. 온도, 발광도 및 거리 $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$에서의 강도를 구하시오.
네제곱으로 계산되므로 반올림하지 않은 온도를 유지하십시오. 행성 온도 또는 전력 관련 주장을 수용하기 전에 수신 강도가 제시된 기준과 비교하십시오.
두 가지 거리 측정 방법
Trigonometric parallax measures a nearby star's apparent angular shift against distant background stars as Earth moves around the Sun. Observations six months apart use a baseline of two Earth-orbit radii. The parallax angle $p$ is half the total shift. For small $p$ in radians, distance is $d\approx r_{\rm orbit}/p$. A parsec is the distance giving parallax $1$ arcsecond; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Do not use the diameter of Earth or Sun as the orbital baseline.
거리가 멀어지면 $p$가 너무 작아 계측기가 정확하게 측정할 수 없게 됩니다. 제한요인은 별이 보이지 않는 것이 아니라 각 분해능/상대 오차입니다.
표준 candle는 발광도가 알려진 천체입니다. 성단 내에서 하나를 식별하고 수신 강도를 측정한 후 $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$를 사용하십시오. 겉보기 밝이는 사전에 알려진 것으로 가정하지 않습니다. 세페이드 변광성은 주기와 발광도 사이에 보정된 관계가 있습니다. 완전한 광변곡선 주기를 여러 번 측정하여 개수로 나누고, 보정을 주의 깊게 읽으며, 태양 발광도 단위가 있다면 변환하십시오. 로그 축상의 직선이 반드시 원시량 사이의 선형 관계를 의미하는 것은 아닙니다.
풀이 예제. 표준 candle의 발광도가 $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$이고 수신 강도가 $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$입니다.
허츠스프링-러셀 도식 읽기
헤르츠스프링-러셀도는 수직축에 광도, 수평축에 표면 온도를 나타내며, 보통 오른쪽으로 갈수록 온도가 낮아지고 로그 스케일을 사용한다. 주계열 은 좌상단의 뜨겁고 밝은 별에서 우하단의 차갑고 어두운 별까지 이어진다. 적색거성 은 큰 표면적 덕분에 차갑지만 밝다. 백색왜성 은 작은 표면적 때문에 뜨겁지만 어둡다. 태양은 주계열 위에서 광도 1 solar luminosity 근처와 약 $5800\ \mathrm K$ 지점에 표시하라.
별은 중력이 가스 및 먼지 구름을 수축할 때 형성된다. 중심부가 가열되어 수소 핵융합이 주계열 별의 에너지를 공급하고, 외부 압력이 중력과 균형을 이룬다. 태양과 같은 별에서는 중심부의 수소가 eventually 고갈되면 융합이 감소하고 중력이 중심부를 수축시킨다. 중심부 온도가 상승하면서 껍질 수소 연소와 이후 헬륨 융합이 일어난다. 이는 적색거성으로 확장되는 현상이다. 외층이 사라지고 지속적 융합이 없는 백색왜성 중심부만 남는다. 이는 매우 긴 시간이 걸려 서서히 냉각된다. 태양은 초신성이나 중성자별이 되지 않는다.
더 큰 질량을 가진 별은 후속 단계에서 무거운 원소들을 융합시킬 수 있다. 중심부가 융합으로부터 에너지를 더 얻지 못하면 붕괴가 일어나고 초신성이 남기는 잔해에 따라 중성자별 또는 블랙홀이 될 수 있다. 대질량 주계열 별은 연료가 많지만 중심부가 hotter하기 때문에 훨씬 빠르게 소모한다. 따라서 주계열 수명은 더 짧을 수 있다. 연료 양뿐만 아니라 융합 속도를 설명하라. HRtracks는 별이 공간 위를 이동하는 것이 아니라 온도와 밝기의 변화를 나타낸다.
도플러 효과와 우주론
동일한 스펙트럼 선 비교
도플러 효과는 시선 방향의 상대 운동에 의해 관측된 주파수나 파장이 변화하는 현상이다. 후퇴하는 발원지에서 연속적인 파면들이 서로 더 멀리 떨어져 도착하고, 접근하는 발원지에서는 더 가까이 도착한다. 후퇴는 더 긴 파장과 낮은 주파수를, 접근은 더 짧은 파장과 높은 주파수를 산출한다. 시선 방향과 순수하게 수직인 운동은 단순한 모델에서 후퇴 속도로 간주되지 않는다.
낮은 후퇴 속도에서의 전자기 복사에 대해:
적색편이 $z$는 후퇴에 대해 양수이다. 작은 편이에 대해 그 크기는 관측된 주파수가 방출된 주파수에 비해 줄어든 분율과 대략적으로 같다. 부호 규약을 명시하라: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$는 후퇴에 대해 음수이다. 양의 적색편이를 부호가 있는 주파수 증가로 동일시하지 마라. 근사식 $v/c_0$는 일반적인 고속 상대론적 공식이 아니다.
작업 예제. $500\ \mathrm{nm}$에서 방출된 선이 $505\ \mathrm{nm}$에서 관측된다.
별의 흡수선을 사용하기 위해 단원 2를 회상하라: 광자는 에너지가 허용된 원자 준위 차이와 일치할 때만 흡수된다. 두 다른 원소를 비교하지 말고 동일한 식별된 스펙트럼 선을 비교하라.
회전하는 별의 반대쪽 가장자리에서는 한 쪽이 접근하고 다른 쪽이 후퇴한다. 두 가지 이동량이 크기와 부호가 서로 반대라면, 관측된 두 파장의 간격은 어떤 한 쪽 가장자리의 이동량보다 두 배 크다. 적도 속도를 구하기 전에 그 간격을 반으로 나누어라. 그런 다음 $T=2\pi R/v$을 사용하라. 이는 제시된 관측 기하학 하에서 관측된 시선 방향 가장자리 속도가 적도 회전 속도를 대표한다고 가정한다.
허블 법칙 및 그 한계
거대 우주론적 스케일에서 후퇴 속도는 대략 허블 법칙을 따른다:
허블 상수 $H_0$는 시간 역수의 단위를 가진다. $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$에서 킬로미터를 미터, 메가파섹을 미터로 변환한 후 초 단위의 역수를 취해야 한다. 근접한 천체는 대규모 관계에 따르지 않는 국소적 운동을 가질 수 있다.
작업 예제. $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$와 $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$을 사용하여 팽창 시간 척도를 추정하라.
역수는 허블 시간이다. 이를 과거 팽창률에 대한 모델로 해석하여 나이가 된다고 가정하지만, 이는 정확한 모델 독립적 나이는 아니다. 더 큰 $H_0$는 더 작은 역수 시간 척도를 산출한다. 팽창에 대한 증거는 과거에 더 밀도가 높고 hotter인 우주를 지지하지만, 이미 비어있는 중심을 둘러싼 공간으로의 폭발을 묘사하지는 않는다.
암흑 물질은 가시 물질만으로는 설명할 수 없는 중력 효과(은하 회전 및 운동 등)로부터 추론된다. 탐지 가능한 빛을 방출할 필요는 없다. 중력을 미치는 물질의 양은 팽창 변화에 영향을 미치므로, 물질 구성과 팽창 모델의 불확실성은 우주의 운명에 대한 예측에 영향을 준다. 하나의 $H_0$ 측정값만으로 영구적인 팽창이나 미래의 붕괴를 증명한다고 추론하지 마라. 현대 모델은 암흑 에너지를 고려하며, 결과 171은 특정 예측을 암기하는 것보다 $H_0$, 암흑 물질, 나이 및 운명에 대한 논쟁을 이해하는 것을 요구한다.
흔한 실수
- kelvin이 아닌 °C를 $pV = NkT$, 스테판-볼츠만 법칙 또는 위엔 법칙에 사용함. 모든 식에는 kelvin이 필요합니다: $T/\text{K} = \theta/{}^\circ\text{C} + 273$.
- 물질이 녹거나 끓는 동안 $\Delta E = mc\Delta\theta$을 사용함. 이때 온도는 일정하므로 $\Delta E = mL$을 사용해야 합니다.
- $N$과 $n$을 혼동함. $pV = NkT$은 분자 수를 사용하며, $pV = nRT$은 몰 수를 사용합니다.
- 더 안정적인 핵을 묻는 질문에 결합 에너지 총량을 인용함. 핵자당 결합 에너지를 비교해야 합니다.
- 질량 결손을 u 단위로 남겨둠. $\Delta E = c^2\Delta m$ 전에 $1\ \text{u} = 1.66\times10^{-27}\ \text{kg}$으로 변환하거나 (또는 $1\ \text{u} \equiv 931.5\ \text{MeV}$을 사용)하십시오.
- $A = \lambda N$에서 시간 단위를 혼용함. $A$이 베크렐(Bq) 단위라면, $\lambda$은 반드시 $\text{s}^{-1}$ 단위로 해야 합니다.
- 감쇠 곡선에 fitting하거나 역제곱 법칙을 검증하기 전에 배경 신호를 빼지 않음.
- 진동의 끝에서 가속도가 제로라고 주장함. $x = \pm A$에서는 속도가 제로이고 가속도가 가장 큽니다. 평형 위치에서는 그 반대가 성립합니다.
- 진폭이 커지면 주기가 변한다고 생각함. 단순 조화 운동에서 주기는 $m$과 $k$(또는 $l$과 $g$)에만 의존합니다.
- 표면에서 궤도 반경을 측정함. $g = GM/r^2$과 $V_{\text{grav}} = -GM/r$에서 $r$은 중심으로부터 측정됩니다.
- $I = L/4\pi d^2$의 $4\pi d^2$을 잊거나, $L = 4\pi r^2\sigma T^4$에서 별의 반경 대신 지름을 사용함.
- 매우 먼 은하에 $z = \Delta\lambda/\lambda \approx v/c$을 사용할 때, 이에는 $v \ll c$이 필요함을 명시하지 않음.
자기 점검하기
- 상변화 중 온도가 오르지 않고도 내부 에너지가 증가할 수 있는 이유는 무엇인가?
- 경질 용기 안의 고정된 양의 기체가 가열될 때, 압력을 비교하기 위해 어떤 온도 척도를 사용해야 하는가?
- 핵자당 결합 에너지가 크다는 것은 각 핵자를 분리하는 데 평균적으로 더 적은 에너지가 필요한가, 더 많은 에너지가 필요한가?
- 카운트 레이트비나 로그를 사용하기 전에 배경을 뺀 이유는 무엇인가?
- $a$–$x$ 직선의 기울기는 $-25\ \mathrm{s^{-2}}$이다. 각주파수를 구하라.
- 가속도가 제로인 평형점에서도 최대简谐运动 속도를 갖는 이유는 무엇인가?
- 감쇠 다리가 같은 주파수로 구동되더라도 왜 진폭이 작게 진동할 수 있는가?
- Does lifting a satellite to a larger radius increase or decrease its signed gravitational potential energy?
- 별은 뜨거우지만 어둡다. 이는 허르스프링-러셀도표의 어떤 영역에 해당하며, 낮은 광도를 설명할 수 있는 요인은 무엇인가?
- 반대 방향으로 회전하는 두 변의 파장 차이를 사용할 때 왜 2배 인자가 필요한가?
정답: (1) 분자 포텐셜 에너지 변화; (2) 켈빈; (3) 더 많은; (4) 배경은 방출원의 붕괴/거리 법칙을 따르지 않습니다; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) 복원 resultant이 제로이지만 에너지는 대부분 운동에너지입니다; (7) 큰 에너지 손실로 인해 안정된 진폭이 제한됩니다; (8) 제로 쪽으로 증가합니다; (9) 백색왜성, 작은 발광 표면; (10) 한 변은 청편이 되고 다른 한 변은 적편이 됩니다.