H · Integration

AQA A-level 수학 7357, H 섹션(적분), 버전 1.3(최초 평가 2018). 원본 수업 자료.

선행 지식: 섹션 G의 미분.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 달리기자의 속도 그래프가 일정 시간 동안 시간 축 아래로 내려갔다가 다시 올라온다. 곡선 아래의 '면적'이 거의 0인데, 달리기자가 제자리만 걸었는가?
• Before reading on, say what a signed area means, and how total distance differs from displacement.

방법론

• Integration reverses differentiation: an antiderivative of axⁿ is axⁿ⁺¹/(n+1) + C for n ≠ −1, while 1/x integrates to ln|x| + C. A definite integral from a to b is signed accumulation: F(b) − F(a).
• 곡선이 축을 가로지를 때 부호가 있는 면적이 상쇄되므로, 총 양의 면적을 구하려면 각 교차점에서 적분을 분할하고 부분들의 절댓값을 더해야 합니다. 기본 정리는 두 방향을 연결합니다: 누적 함수를 미분하면 피적분함수를 얻습니다.
• 원시함수: 주어진 피적분함수의 도함수가 되는 함수; 정적분: 두 구간의 함수에 대한 부호 있는 누적량; 기본 정리: 적분 함수를 미분하면 피적분함수를 다시 얻는 양방향 연결입니다.

작업 검증

• 모든 원시함수는 다시 미분하여 검증하고, 부정적분에는 상수 C를 유지하십시오 — 주어진 점을 통해 이를 결정할 수 있습니다. n = −1인 경우는 별도로 처리해야 합니다: 1/x의 적분은 ln|x|이며, 분모가 0이 되는 거듭제곱 법칙을 적용해서는 안 됩니다.
• 총 면적을 계산하기 전에 구간 내에서 피적분함수의 부호 변화를 찾고 거기에 분할하십시오; 부호가 바뀌는 속도(st velocity)는 변위와 총 이동 거리가 다른 값을 내게 합니다.

풀이된 사례

• Known: v(t) = 3t² − 3 for 0 ≤ t ≤ 2. An antiderivative is t³ − 3t. Displacement = [t³ − 3t] from 0 to 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. But v = 0 at t = 1, so total distance = −[t³ − 3t] from 0 to 1 + [t³ − 3t] from 1 to 2 = 2 + 4 = 6 m.

예시:

Find the area between y = x² and the x-axis from 0 to 1, then the right-end rectangle estimate with 4 strips, using the same sequence. (Answer: exact ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333; the estimate is (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, an overestimate for this increasing convex curve.)

한계 및 함정

• 적분은 사각형 합의 극한이며, 유한한 줄 개수만으로는 추정치일 뿐이며 오차는 곡률에 의존합니다. x = 0에서의 1/x와 같은 불연속점에서는 적분하지 마십시오. 또한 부호 있는 면적이 0일 수 있지만 총 면적은 양수일 수 있음을 기억하십시오.

경고:

정적분은 항상 곡선과 축 사이의 총 양의 면적과 같다는 주장은 틀렸습니다: 적분은 부호 있는 값 — 축 아래 영역은 음수로 세우므로, 변위는 작거나 0일 수 있으나 총 이동 거리는 클 수 있습니다.

핵심:

적분: 다시 미분하여 검증된 원시함수(주어진 점으로 고정된 C 포함); 정적분은 부호 있는 누적 F(b) − F(a); 총 면적은 모든 부호 변화에서 분리되어야 하며, 기본 정리는 적분 함수와 피적분함수를 연결합니다.