G · Differentiation

AQA A-level 수학 7357, H(미분법) 섹션, 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 수업 자료입니다.

선행 지식: 섹션 B의 대수적 변형 및 함수 표기법.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 자동차의 거리-시간 곡선은 계속 굽어 있으므로, 전체 여정에 대한 단일 '속도'는 존재하지 않는다. 그러나 속력계가 현재 한 수치를 보여주고 있다. 이 수치는 기하학적으로 무엇을 의미하는가?
• 읽기 전에 접선 기울기가 두 시간 간의 평균 속도 differs하는 방법을 설명하십시오.

방법론

• 미분은 차분 몫 [f(x+h) − f(x)]/h의 h → 0에 대한 극한으로 정의되며, 이는 접선의 기울기와 순간 변화율을 뜻한다. y = ax⁴인 경우 dy/dx = anx³⁻¹; 삼각함수 및 지수함수의 미분 공식은 다음과 같다: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x (라디안 단위).
• 정지점(stationary point) 은 dy/dx = 0인 점이며, 도함수의 부호 변화 또는 이계도의 부호를 통해 분류한다(양수: 국소 최솟값; 음수: 국소 최댓값). 연쇄 법칙, 곱의 미분 법칙, 상의 미분 법칙은 합성 함수를 처리하며, 모든 내부 변수의 도함수 인수를 포함한다.
• 도함수: 순간 변화율, 접선의 기울기; 정지점: 도함수가 0인 점; 이계도: 도함수의 도함수로, 기울기의 변화 정도를 측정한다.

*f′(x) = 0는 후보점을 구하고, f″로 이를 분류한다. 도함수는 h → 0일 때 비접선 기울기의 극한이다.

작업 검증

• 도함수가 0이라는 것은 단지 후보점에 불과하다: y = x³은 0에서 정지점이지만 계속 상승하므로, 분류를 위해 부호 변화나 f″가 필요하다. 제한된 구간에서는 경계 값도 비교해야 하며, 전역 극값은 끝점에 위치할 수 있다.
• xeˣ 같은 곱함수의 미분 후, 쉬운 입력값에서 확인해 보라: 곱의 미분 법칙에 의해 eˣ + xeˣ가 되며, 이는 x = 0일 때 1이 아니라 0이다. 개별 도함수들을 곱하면 그 지점에서 잘못된 값을 얻게 된다.

풀이된 사례

• 주어짐: y = x³ − 3x이므로, dy/dx = 3x² − 3. 정지점은 3x² − 3 = 0인 지점, 즉 x = ±1에서 발생함. 이계도는 6x: x = 1일 때 이계도는 6 > 0이므로 (1, −2)는 국소 최솟값임; x = −1일 때 이계도는 −6 < 0이므로 (−1, 2)는 국소 최댓값임.

예시:

y = x³ − 3x를 x = 2에서 미분하여 접선과 수직선의 방정식을 구하시오. 동일한 순서대로 적용: f로부터 점 구하기 → f′로부터 기울기 구하기 → 직선 방정식 세우기. (정답: x = 2에서 y = 2이고 기울기는 9이므로, 접선은 y − 2 = 9(x − 2)이며, 수직선은 y − 2 = −(1/9)(x − 2)입니다.)

한계 및 함정

• 도함수는 y좌표가 아닌 기울기를 제공하므로, 점은 항상 원래 곡선으로부터 구해야 한다. 수평 접선(기울기 0)은 수직 수직선을 가지며, 이는 0의 역수가 존재하지 않으므로 x = 상수 형태로 표현된다.

경고:

Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. This claim is false: y = x³ has dy/dx = 0 at x = 0 but the derivative 3x² stays positive on both sides — a stationary point of inflection, with no extremum at all.

핵심:

Differentiation: the derivative is the limit of the secant gradient, giving the tangent gradient and rate. Stationary candidates come from f′ = 0 and are classified by the sign change or f″; tangents and normals use the point from f and the gradient from f′.