F · Exponentials and logarithms

AQA A-level 수학 7357, G(지수함수와 로그함수) 섹션, 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 수업 자료입니다.

선행 지식: GCSE의 지수 법칙 및 과학 계산기 사용법.

이것들은 공식적인 AQA 자료가 아닌 원작 교육 예시입니다.

질문

• 표본이 매 3.5시간마다 반으로 줄어듭니다. 그러나 실험실에서는 5시간 시점의 수준이 필요합니다 — 해당 시간을 보여주는 표는 없습니다. 누락된 표를 대체할 수 있는 식은 무엇입니까?
• 읽기 전에 모델 y = Ae^(kt)에 필요한 입력 요소가 무엇인지 설명하고, 로그 도표를 통해 데이터에서 k를 복원하는 방법을 설명하십시오.

방법론

• y = Ae^(kt)에서 A는 초기량이며 k는 비례율입니다: 증가는 양수, 감쇠는 음수입니다. 반감기는 ln 2/|k|이며, 배가 시간은 ln 2/k입니다.
• 로그함수는 지수함수의 역함수입니다: y = a^x일 때 x = log_a y이며, 이는 양수 y에 대해만 정의됩니다. 로그 법칙은 지수 법칙에서 유도됩니다: log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. a^x = b를 풀면 x = ln b / ln a입니다. ln y를 t에 대해 그래프로 그리면 y = Ae^(kt)는 직선 ln y = ln A + kt이 됩니다.
• 반감기: 감소하는 양이 초기값의 절반으로 떨어지는 데 걸리는 시간; 로그함수: 주어진 양수 값을 만들기 위해 특정 밑에 승해져야 하는 지수입니다.

작업 검증

• 피팅된 지수함수는 모델입니다: 예측하기 전에 명시된 시간 단위를 확인하고 범위를 검토하며, 예측값을 새로운 측정값(잔차)과 비교하여 신뢰할 수 있는지 검증하십시오. k가 음수이면 감쇠를 의미하며, 시작량이 음수인 경우는 보통 문맥과 모순됩니다.
• 로그 방정식에서는 먼저 원래의 정의를 기록하십시오: 모든 로그항의 인자는 양수여야 하므로, 로그를 결합한 후 생성된 후보들은 이 조건에 따라 검증되어야 합니다.

풀이된 사례

• 주어짐: y = 80e^(−0.2t), y는그램 단위, t는시간 단위. 양의 절반이라는 것은 40 = 80e^(−0.2t)를 의미하므로, e^(−0.2t) = 1/2입니다. 양변에 자연로그를 취하면 −0.2t = −ln 2이 되어, t = ln 2/0.2 ≈ 3.466시간이 됩니다. 동일한 k는 모든 초기량에 대한 반감기에 적용됩니다.

예시:

3^x = 20을 같은 순서대로 푼다: 로그 취하기 → 지수 법칙 적용 → 나누기 → 해석. (정답: x ln 3 = ln 20, 즉 x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. 검증: 3^2.727 ≈ 20.)

한계 및 함정

• 로그 법칙은 양수 인자에만 적용됩니다; ln(x + y)에는 합 법칙이 없습니다(ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). 지수 모델에서는 시간 단위가 k와 일치해야 합니다: 연율 10%의 유효 연율은 k = ln 1.1이지 k = 0.1가 아닙니다.

경고:

양수 x와 y에 대해 ln(x + y) = ln x + ln y라는 주장은 틀렸습니다: 곱 법칙은 ln(xy) = ln x + ln y이며, 로그 내부의 합에 대한 법칙은 없습니다. x = y = 1인 경우를 보면 (ln 2 ≈ 0.69이지만 ln 1 + ln 1 = 0) 알 수 있습니다.

핵심:

지수함수와 로그함수: y = Ae^(kt)와 반감기 ln 2/|k|; 로그함수는 지수함수를 역연산하며 곱/나머지/지수 법칙을 따르고 지수함수 피팅을 직선으로 변환합니다. 풀기 전에 정의역과 단위를 확인하십시오.