E · Trigonometry

AQA A-Level 수학 7357, 섹션 E (삼각함수), 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 강의 자료.

선행 지식: GCSE 직각삼각형 삼각비 및 정밀 값.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 두 학생에게 A = 30°, a = 7, b = 10이 주어졌다. 한 학생은 하나의 삼각형을 보고, 다른 학생은 두 개의 삼각형이 있으며 모두 직각이라고 주장한다. 어떤 정보가 이 경우를 구분하는가?
• 읽기 전에 어떤 규칙이 변과 대각을 짝짓는지 말하고, 역사인(st-inverse-sine) 답에 추가 검증이 필요한지를 설명하라.

방법론

• 단위 원에서 각도 θ의 점은 (cos θ, sin θ)이므로 부호는 사분면에 따르고 정확한 값은 30-60-90 및 45-45-90 삼각형에서 온다. 라디안은 호의 길이가 반지름과 같은 각도: s = rθ 및 부채면적 = r²θ/2은 라디안을 요구한다.
• The sine rule pairs opposite sides and angles: a/sin A = b/sin B. The cosine rule a² = b² + c² − 2bc cos A uses the angle opposite a. In the ambiguous case, sin B = b sin A / a can give B or its supplement 180° − B — both must be tested against the remaining angle.
• 단위원: 반지름이 1인 원으로, (cos θ, sin θ)가 각도 θ에 해당하는 점입니다. 라디안: 반지름 길이가 같은 호에 의해 형성된 각도; 사인의 법칙: a/sin A = b/sin B로 대변 변과 대변각을 짝짓는 규칙; 코사인의 법칙: a² = b² + c² − 2bc cos A; 모호한 경우: 두 삼각형이 동일한 데이터에 맞을 수 있는 사인의 법칙의 상황입니다.

작업 검증

• Choose the rule from the known information: a matching side-angle pair calls for the sine rule; two sides with the INCLUDED angle, or three sides, call for the cosine rule. For area, ab sin C / 2 needs the angle BETWEEN a and b.
• 각 후보 각도를 검증하라: 남은 각도 C = 180° − A − B는 양수여야 하고 모든 변은 양수여야 한다. 계산기의 역사인은 예각 주값만 반환하므로, 보각은 별도의 후보로 고려된다.

풀이된 사례

• Known: sides 6 and 8 enclose 60°. Use the cosine rule: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. So c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. The area is (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

예시:

For A = 30°, a = 7, b = 10, find the possible values of B using the same sequence: known → sine rule → both branches → validity check. (Answer: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, so B ≈ 45.6° or B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Both leave a positive third angle, so TWO triangles fit.)

한계 및 함정

• The ambiguous case needs the count: with h = b sin A and acute A, a < h gives none, a = h one right triangle, h < a < b gives two, and a ≥ b gives one. Trig equations on an interval must list every solution: sin x = 1/2 on [0, 2π) has both π/6 and 5π/6.

경고:

계산기의 역사인 값은 사선법 문제에서 유일한 가능한 각도입니다. 이 주장은 틀렸습니다: 사인은 두 분포에서 양수이므로 보각 180° − B는 두 번째 후보이며 확인되어야 하며, 이것이 바로 모호한 경우입니다.

핵심:

삼각함수: 단위 원으로 값과 부호 확인, 아크와 섹터용 라디안, 모호한 경우가 포함된 사선법, 합각을 위한 법선법, 면적 공식 ab sin C / 2 — 항상 남은 각도에 대한 유효성 검증을 수행해야 합니다.