D · Sequences and series

AQA A-level 수학 7357, D 섹션 (순열 및 급수), 버전 1.3 (첫 평가 2018). 원본 수업 자료.

선행 지식: GCSE 산술 순열 및 연립방정식.

이것들은 공식적인 AQA 자료가 아닌 원작 교육 예시입니다.

질문

• 저축자는 매년 같은 금액을 예치하고 투자금은 매년 같은 비율로 증가합니다. 8년 후, 어떤 잔액을 한 줄로 정확히 합산할 수 있습니까?
• 다음을 읽기 전에 두 가지를 더하여 성장하는 것과 곱하여 성장하는 것이 무엇인지 말하고, 각 합계 공식에 무엇이 필요한지 설명하십시오.

방법론

• 산술 순열은 일정한 차이를 더합니다: uₙ = a + (n − 1)d. 이 급수의 합은 양끝을 짝지어 구합니다: Sₙ = n(a + u)/2. 기하 순열은 일정한 비를 곱합니다: uₙ = arⁿ⁻¹, Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) for r ≠ 1.
• 무한 기하급수는 항들이 0에 수렴하기 때문에 |r| < 1일 때만 존재합니다: S∞ = a/(1 − r). 재귀 관계는 이전 항을 기준으로 각 항을 정의하며 초기값이 필요합니다; 주기적 순열은 고정된 횟수마다 반복됩니다.
• 산술 순열: 항 사이의 일정한 차이가 있는 순열; 기하 순열: 항 사이의 일정한 비가 있는 순열; 재귀 관계: preceding value로부터 각 항을 주는 규칙; 주기적 순열: 고정된 횟수마다 항이 반복되는 순열.

작업 검증

• 주어진 두 항에서 연립방정식을 통해 a와 d를 구한 후 공식에 대입한다: u₃ = 10이고 u₇ = 22이므로 4d = 12, 즉 d = 3이고 a = 4이다. 항의 개수는 양의 정수여야 하며, 분수나 음수의 근은 거절되며 반올림하여도 안 된다.
• 주장된 합을 첫 몇 항과 직접 비교하고, 교차점 양측의 정수에 대해 최소 목표가 충족되는지 확인한다.

풀이된 사례

• 주어진 값: a = 5, d = 3, n = 8. 여덟 번째 항은 u₈ = 5 + 7 × 3 = 26입니다. 합은 S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124입니다. 네 쌍의 끝단항의 합은 모두 31이며, 4 × 31 = 124 ✓입니다.

예시:

a = 12, r = 0.5일 때 무한합과 부분합이 23.9를 초과하는 첫 번째 n을 구하시오. 같은 순서를 따르되: 주어진 값 → 공식 → 대입 → 정수 확인. (정답: S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. 부분합은 Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ): S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9이고 S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9이므로, n = 8입니다.)

한계 및 함정

• 무한합 공식은 r = 1 또는 r = −1에서는 유효하지 않습니다. 이 경우 항들이 줄어드는 것이 아니라, 음의 공비도 절댓값이 1보다 작을 때만 수렴합니다. 점화식은 연산 순서를 정확히 유지해야 합니다: B next = 1.1B + 50은 1.1(B + 50)와 다릅니다.

경고:

모든 기하급수는 무한합을 가집니다. 이 명제는 틀렸습니다. 합은 |r| < 1일 때만 존재합니다. r = 2인 경우 항들은 무한대로 커지고, r = −1인 경우 부분합은 영원히 진동하므로 어느 쪽도 수렴하지 않습니다.

핵심:

수열과 급수: 산술급수는 더하기(끝단끼리 짝지어 합), 기하급수는 곱하기(Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), 그리고 S∞ = a/(1−r)는 |r| < 1일 때만 가능). 주어진 항에서 매개변수를 복원하고, 개수 관련 답은 정수여야 함을 요구하십시오.