C · Coordinate geometry

AQA A-level 수학 7357, 섹션 C (좌표 기하학), 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 강의 자료.

Prerequisites: GCSE straight lines, Pythagoras and quadratic equations.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 위성 안테나의 단면과 바퀴의 테두리는 모두 원이지만, 테두리만이 중심을 한눈에 읽을 수 있는 (x − a)² + (y − b)² = r² 형태로 쓰일 수 있다. 이 식이 무엇을 제공하는가?
• 아래 내용을 읽기 전에 매개변수 a, b, r이 각각 어떤 것을 제어하는지, 그리고 미분 없이 접선 방향을 어떻게 구할 수 있는지 말해보라.

방법론

• 점(x₁, y₁)을 지나기하 기울기 m인 직선의 방정식은 y − y₁ = m(x − x₁)이다. 평행선은 같은 m을 공유하며, 수직인 유한한 기울기끼리의 곱은 m₁ × m₂ = −1이다.
• 중심(a, b)이고 반지름 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r²이다. 접점에서의 반지름은 해당 지점의 접선과 수직이다. 두 기울기가 모두 유한할 때, 그들의 곱은 −1이다. 수평인 반지름은 수직인 접선을 가지며, 수직인 반지름은 수평인 접선을 가진다. 지름은 원주 위에서 직각을 이룬다.
• 기울기: x의 단위 변화당 y의 변화량; 원: 중심으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합; 접선: 원 위의 한 점에서 접하며, 그 지점에서의 반지름에 수직인 직선.

*반지름의 기울기 4/3과 접선의 기울기 −3/4의 곱은 −1: 수직인 직선

작업 검증

• Check that a proposed point lies on the circle by substituting into (x − a)² + (y − b)² = r² before building a tangent at it. Complete the square to rescue a centre from the expanded form x² + y² + px + qy + s = 0 — and adjust the right side too.
• Intersect a line with the circle by substitution: a repeated root means tangency, two roots a chord, and a negative discriminant no meeting.

풀이된 사례

• Known: the circle x² + y² = 25 and the point (3, 4) on it (3² + 4² = 25 ✓). The radius from (0, 0) to (3, 4) has gradient 4/3, so the tangent gradient is −3/4 by m₁ × m₂ = −1. The tangent is y − 4 = −(3/4)(x − 3), which rearranges to 3x + 4y = 25.

예시:

x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0의 중심과 반지름을 구하시오. 같은 순서를 따르되: 항을 묶기 → 제곱완성 → 형태 판독. (정답: (x − 2)² + (y + 1)² = 25이므로, 중심은 (2, −1)이고 반지름은 5입니다. 단, 중심의 괄호 부호는 반대임을 유의하십시오.)

한계 및 함정

• The negative-reciprocal rule needs finite, nonzero gradients; a horizontal radius gives a vertical tangent, stated as x = constant. A chord bisected by a centre-perpendicular is a right-triangle shortcut: half-chord, radius and centre distance obey Pythagoras.

경고:

원 위의 점에서의 접선은 해당 점으로 가는 반지름과 같은 기울기를 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다: 접점에서의 반지름과 접선은 수직이므로, 그들의 기울기의 곱은 −1입니다. 점 (3, 4)에서 반지름의 기울기는 4/3이고 접선의 기울기는 −3/4입니다.

핵심:

좌표 기하학: 점-기울기로 직선, (x − a)² + (y − b)² = r²로 원. 접선은 반지름-수직 관계를 이용하고, 교점은 대입법과 판별법을 이용합니다.