B · Algebra and functions

AQA A-level 수학 7357, 션 B (대수와 함수), 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 수업 자료.

Prerequisites: GCSE algebra: indices, surds, factorising and solving quadratics.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• Two students solve x² − 4x + 1 = 0. One completes the square and gets exact answers; the other substitutes into the formula and rounds early, drifting off by a tenth. What separates an exact method from a drifting one?
• 아래 내용을 읽기 전에 각 풀이법이 필요한 정보와 최종 답을 검증하는 방법을 말해보라.

방법론

• A quadratic can be solved by factorising, completing the square (a(x − h)² + k giving vertex (h, k)) or the formula. The discriminant b² − 4ac counts real roots before any solving.
• 함수는 정의역의 각 입력값에 정확히 하나의 출력값을 할당한다. 역함수는 정의역에서 일대일일 때만 존재하며, 먼저 x²을 x ≥ 0로 제한해야 한다. 합성 fg(x) = f(g(x))는 g를 먼저 적용하며, fg와 gf는 일반적으로 다르다. 그래프 변환은 인수분해 형태 a·f(b(x − h)) + k에서 읽는다: 1/b와 a에 대해 확대/축소한 후 h와 k만큼 이동한다.
• completing the square: Rewriting a quadratic as a(x−h)²+k to read the vertex and solve exactly; discriminant: The quantity b²−4ac deciding how many real roots exist; function: A rule giving exactly one output for each allowed input; domain: The set of allowed inputs of a function.

작업 검증

• Check every candidate solution in the ORIGINAL equation, especially after squaring (which can add false roots) or dividing by an expression (which can lose the zero case). Keep surds exact until the requested rounding; rounding mid-calculation is how a tenth is lost.
• 주어진 역함수가 맞는지 역함수의 정의역에서 f(f⁻¹(x)) = x임을 확인하고, 그 정의역을 명시하라. x²의 역함수는 제한된 가지에서만 존재한다.

풀이된 사례

• 주어짐: x² − 4x + 1 = 0. 제곱완성법: (x − 2)² − 4 + 1 = 0, 즉 (x − 2)² = 3. 정리하면: x − 2 = ±√3. 대입법: x = 2 + √3 ≈ 3.732 또는 x = 2 − √3 ≈ 0.268. 검증: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

예시:

f(x) = x² − 4 (정의역 x ≥ 0)의 역함수와 그 정의역을 동일한 순서로 구하시오: 주어진 관계 → 정리 → 가지 선택 → 정의역 및 치역 명시. (답: y = x² − 4에서 x = √(y + 4), x ≥ 0 가지를 사용하여 f⁻¹(x) = √(x + 4), 정의역 x ≥ −4, 치역 y ≥ 0.)

한계 및 함정

• 공식은 항상 유효하지만 근이 무리수일 때는 정확한 형식이 선호되며, 소수점은 근사치이다. 합성은 순서에 민감하며, 변환된 그래프는 공식뿐만 아니라 알려진 점 하나를 추적하여 확인해야 한다.

경고:

함수 f(x) = x²은 모든 실수 위에서 역함수를 가진다는 주장은 틀렸다: 두 개의 입력값이 같은 출력값을 내므로(2과 −2 모두 4을 만듦), 역변환은 함수가 아니다. 먼저 정의역을 제한해야 하며, 예를 들어 x ≥ 0로 하면 f⁻¹(x) = √x가 된다.

핵심:

대수와 함수: 제곱완성법이나 판별식을 근의 개수 카운터로 사용하는 공식을 활용하고, 원본 방정식에 유력해를 확인하라. 함수에는 명시된 정의역이 필요하며, 역함수는 일대일 가지가 필요하고, 그래프 변환은 인수분해 형태에서 읽어야 한다.