R · Forces and Newton's laws

AQA A-level 수학 7357, 섹션 R(힘과 뉴턴의 법칙), 버전 1.3(최초 평가 2018). 원본 교육 자료입니다.

선행 지식: 섹션 J의 벡터와 섹션 Q의 운동학.

이것들은 공식적인 AQA 자료가 아닌 원작 교육 예시입니다.

질문

• 리프트 승객은 리프트가 위로 가속할 때 무겁게, 감속할 때 가볍게 느껴지지만 승객의 질량은 변하지 않습니다. 실제로 변하는 것은 무엇입니까?
• 다음 내용을 읽기 전에, 승객에게 작용하는 힘은 무엇인지, 그리고 바닥의 저울이 실제로 측정하는 힘은 무엇인지 말하십시오.

방법론

• 힘은 운동을 변화시키는 밀기나 당김으로, 단위는 뉴톤입니다. 뉴턴 제1법칙: 합력이 0이면 속도는 일정합니다—정지하거나 일정한 속도로 직선 운동을 합니다. 뉴턴 제2법칙: 합력은 질량 × 가속도(F = ma)이며, 따라서 방정식을 사용하기 전에 힘들은 벡터로 더해야 합니다.
• 뉴턴 제3법칙: 쌍을 이루는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이지만 서로 다른 물체에 작용하므로 하나의 자유체도에서 상쇄되지 않습니다. 경사면에서는 무게 mg를 평면 방향으로 mg sin θ와 평면에 수직인 mg cos θ로 분해하며, 반작용력은 수직 성분만 균형시킵니다. 마찰력은 미끄러짐을 방지하며 최대 한계는 μR입니다.
• 힘: 운동을 변화시키는 밀기나 당김, 단위 뉴톤; 합력: 물체에 작용하는 모든 힘의 단일 벡터 합으로 ma에 해당; 마찰력: 상대적인 미끄러짐을 oppose하는 접촉력으로 최대 μR입니다.

작업 검증

• 대수 계산 전에 먼저 자유체도를 그리십시오: 힘마다 한 개의 화살표를 그려 물체에 닿게 하고 나머지는 포함하지 마십시오. 화살표의 출처(무게, 반작용, 장력, 마찰, 추력)를 명시할 수 없다면 그 화살표는 도식에 포함될 수 없습니다.
• 리프트 저울은 무게가 아닌 반작용 R을 읽습니다: 위로 가속할 때 R − mg = ma이므로 R = m(g + a) > mg입니다. '무거워' 보이는 느낌은 더 큰 반작용이며 관측 결과와 일치합니다.

풀이된 사례

• 주어짐: 질량 3 kg인 블록이 마찰력에 의해 유지되는 각도 30°의 경사면에 놓여 있으며, 중력가속도 g = 9.8 m/s²입니다. 평면 방향: mg sin θ = F이므로 F = 3 × 9.8 × 0.5 = 14.7 N입니다. 수직 방향: R = mg cos θ = 3 × 9.8 × (√3/2) ≈ 25.5 N입니다. 블록이 정지하려면 최소 마찰 계수는 F/R = tan 30° ≈ 0.577이어야 합니다.

예시:

질량 60 kg의 승객이 위로 1.2 m/s²로 가속하는 리프트에 서 있습니다. 저울 읽기를 구하시되 동일한 순서(자유체도 → R − mg = ma → 대입)를 사용하십시오. (답안: R = 60 × (9.8 + 1.2) = 660 N.)

한계 및 함정

• 모든 F = ma 식에는 방향을 명시하고 도식의 부호와 일관되어야 합니다. 합력이 잘못된 방향으로 향하면 가속도의 방향도 뒤집힙니다. 크기를 확인하십시오: 반작용력이 0보다 작으면 물체가 표면을 떠났음을 의미하며, 이는 산술 오류가 아니라 모델 자체의 파괴를 의미합니다.

경고:

수직 반력이 항상 무게와 같습니다. 이 주장은 틀렸습니다: 경사면에서는 R = mg cos θ < mg이고, 가속하는 리프트에서는 R = m(g + a)입니다. 수직 반력은 수평면에서 수직 가속이 없을 때만 무게와 같습니다—모든 경사면과 리프트 계산에 대해 가정하면 각 계산이 깨집니다.

핵심:

힘과 뉴턴의 법칙: 먼저 자유체도를 그리십시오. 모든 힘의 합은 ma에 해당합니다. 반작용 쌍은 서로 다른 물체에 작용합니다. 경사면에서는 무게를 mg sin θ와 mg cos θ로 분해하며, 반작용력이 항상 무게와 같지는 않습니다.