O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level 수학 7357, O(통계적 가설 검정) 섹션, 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 강의 자료.

전제 조건: N 섹션의 이항 및 정규 모델.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• A factory claims a 10% defect rate, and a sample of 10 has 3 defects. A student says "3 defects proves the rate is above 10%." What is the right way to test that claim?
• 읽기 전에 귀무가설, 대안 가설, 그리고 증거를 평가하기 위해 사용할 확률 기준을 말하세요.

방법론

• 결과 inspect하기 전에 영가설 H₀와 대안가설 H₁을 improve 매개변수로 명시하십시오. H₀ 하에서 관찰된 결과보다 극단적인 결과가 나올 확률을 계산하십시오 — 이는 꼬리 확률입니다.
• 선택한 유의수준(예: 5%)과 비교하십시오. 꼬리가 유의수준에 도달하면 H₀을 기각하십시오; 그렇지 않으면 증거가 불충분하다고 말하고, H₀이 증명되었다고 절대 말하지 마십시오. 통계적 유의성은 효과의 실제 크기와 아무런 관련이 없습니다.
• 영가설: improve 매개변수에 대한 기본 주장이며, 증거와 대안가설: H₀에 대한 증거가 충분히 강할 경우 수용되는 주장; 유의수준: 영가설을 기각하기 위해 선택한 확률 임계값입니다.

작업 검증

• H₁에 따라 꼬리를 선택해야 하며, 작은 값을 주는 임의의 꼬리를 선택해서는 안 된다: H₁: p > 0.1인 경우 P(X ≥ 관측값)를 구하므로 상단 꼬리(tail)를 사용한다. "다르다"는 주장을 다중 꼬리 검정에서 두 배로 계산하지만, "크다"는 주장은 상단 꼬리만 사용한다.
• 가설은 표본이 아닌 PARAMETER(진짜 불량률)에 대한 것이며, 데이터를 보기 전에 고정되어야 한다. 그렇지 않으면 검정이 조작된 것이 된다.

풀이된 사례

• Known: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, and 3 defects observed. Under H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. At the 5% level, 0.0702 > 0.05: insufficient evidence that the defect rate exceeds 10%.

예시:

올바른 단측 p-value은 0.03이며, 이는 5% 수준입니다. 같은 순서를 사용하여 결론을 제시하십시오: 수준과 비교 → 맥락 내 결론 도출. (정답: 0.03 < 0.05, 따라서 H₀를 기각함: 증거는 5% 수준에서 대안 가설을 지지함.)

한계 및 함정

• H₀을 기각하지 않는 것은 그것이 참임을 증명하지 않습니다. 단순히 표본 크기가 실제 차이를 탐지하기에 너무 작을 뿐일 수 있습니다. 5% 수준은 수많은 검증 과정에서 우연히 "기각"되는 무실한 가설이 1개 중 20개임을 의미하며, 유의성은 중요도를 측정하지 않습니다.

경고:

귀무가설을 기각하지 못했다는 것은 그것이 참임을 증명한다는 주장은 틀렸다: 검정은 H₀에 반하는 증거가 임계치를 넘었는지 측정할 뿐이다. 약한 증거는 H₀을 증명하지 못하게 할 뿐, "증명되지 않았다"는 것은 "참임"을 증명하는 것과 완전히 다른 결론이다.

핵심:

통계적 가설 검정: 먼저 매개변수로 H₀과 H₁을 명시하고, H₀ 하에서 꼬리 확률을 계산하며, 사전 설정된 유의수준과 비교하고 맥락 내에서 결론을 내린다. 귀무가설이 살아남았다고 해서 그것이 증명되었다고 claim해서는 안 된다.