M · Probability

AQA A-level 수학 7357, M(확률) 섹션, 버전 1.3 (최초 평가 2018). 원본 강의 자료입니다.

선행 학습: GCSE 확률 트리 및 벤 다이어그램.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 3개의 빨간 공과 2개의 파란 공이 담긴 주머니에서 두 개를 순서대로 꺼냅니다. 두 번째 뽑기의 확률이 첫 번째와 다른 것은 오류일까요, 아니면 핵심 포인트일까요?
• 이어서 읽기 전에 '교체 없이'가 무엇을 바꾸는지 말하고, 나무 도표로 어떻게 표현하는지 설명하세요.

방법론

• 한 가지 결과에 대해 나가지 따라 곱한 후 불교차 나뭇가지들을 더합니다. 조건부 확률은 표본 공간을 제한합니다: P(B 조건 하 A) = P(A ∩ B)/P(B), 단 P(B) > 0입니다. 교체 없이 뽑을 때 다음 뽑기의 구성이 바뀝니다.
• 상호 배타적은 겹침이 없다는 뜻이며, 독립은 한 사건을 알고 있더라도 다른 사건의 확률이 변하지 않는다는 뜻입니다. 양의 확률을 가진 서로 불교차인 두 사건은 절대 독립할 수 없습니다: A가 발생하면 P(B)는 0로 떨어집니다.
• conditional probability: The probability of an event within the group selected by given information; mutually exclusive: Events that cannot happen together; independent: Events where knowing one leaves the other\u2019s probability unchanged.

작업 검증

• 베인 도표를 OVERLAP(중첩) 영역부터 채웁니다: 18명이 자전거 타기, 12명이 수영하기, 7명이 둘 다 하는 경우, 나머지 영역은 11과 5뿐입니다. 따라서 최소 하나 이상 참여자는 23명이고, 전혀 참여하지 않은 사람은 7명입니다(총 30명 기준). 18 + 12를 더하면 7 영역이 이중 계산됩니다.
• 조건부 확률은 조건이 적용된 그룹의 총수를 분모로 사용합니다: P(자전거 타기 조건하 수영하기) = 7/18이지, 7/30가 아닙니다. 조건을 반대로 설정하면 값이 보통 달라집니다.

풀이된 사례

• Known: 3 red and 2 blue, two draws without replacement. P(two red) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(one of each) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. The branches multiply and the disjoint routes add.

예시:

P(A ∩ B) = 0.12이고 P(B) = 0.3일 때, 같은 순서를 따라 P(B 조건 하 A)를 구하세요: 조건이 적용된 그룹 식별 → 나누기 → 해석. (정답: P(A given B) = 0.12/0.3 = 0.4. 분모는 전체 표본 공간이 아닌 B의 확률입니다.)

한계 및 함정

• 독립성과 상호 배타성은 서로 다른 질문에 답합니다: 양의 확률을 가진 불교차 사건은 항상 종속적입니다. 기대값(np)은 단일 실험의 보장치가 아니라 장기 평균입니다.

경고:

양확률을 가진 상호 배타적 사건은 반드시 독립적입니다. 이 주장은 틀렸습니다: A와 B가 함께 일어날 수 없다면, P(B given A) = 0 ≠ P(B)입니다. A가 일어났음을 알면 B의 확률이 완전히 달라지는데, 이는 독립성의 정반대입니다.

핵심:

확률 계산: 가지를 따라 곱하고, 서로소 경로를 더함; 조건부 확률은 조건군으로 나옴; 재포함 없이 뽑을 때는 확률이 변화함; 양수 확률을 가진 서로소 사건은 의종속이며 절대 독립이 아님.