L · Data presentation and interpretation

AQA A-level 수학 7357, L부(데이터 제시 및 해석), 버전 1.3(최초 평가 연도 2018). 원문 교육 자료.

선행 학습: GCSE 평균, 빈도표 및 상자 그래프.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 히스토그램에서 가장 높은 막대는 옆에 있는 더 낮고 넓은 막대보다 관측치가 적습니다. 그림이 정직하게 표현되었음에도 불구하고 읽기만 잘못된 이유는 무엇일까요?
• Before reading on, say what the AREA of a histogram bar means, and what height alone tells you.

방법론

• 히스토그램은 빈도를 위해 면적을 사용하므로, 등간격이 아닌 경우 높이는 빈도 밀도: 빈도 계급 폭입니다. grouping된 평균과 중위는 추정치이며, 계급 내부의 값은 그 계급의 중심점 또는 보간 위치로 대표됩니다.
• 상자 그래프는 최소값, 사분위수, 중위수, 최대값을 보여줍니다. 일반적인 값인 중위수와 일관성을 위한 사분위 수 범위(IQR = Q3 − Q1)를 비교하십시오. 사분위수 너머 1.5 × IQR라는 이상치 규칙은 법칙이 아니라 명시된 관례입니다.
• 빈도 밀도: 계급 폭으로 빈도를 나눈 값으로 히스토그램 높이에 사용됩니다; 상자 그래프: 분포를 비교하기 위한 5개 요약치의 표시; 사분위 수 범위: 상사분위수에서 하사분위수를 뺀 값으로, 중간 절반의 산포도를 나타냅니다.

작업 검증

• 그래프를 비교하기 전에 축의 양, 단위, 스케일을 먼저 확인하십시오. 축이 잘린 경우 과장되어 보이며, 각 계급 내부의 실제 값이 알 수 없으므로 grouping된 평균은 추정치입니다.
• 맥락에서 중심과 산포를 모두 비교하십시오. 동일한 중위수는 동일한 분포를 의미하지 않으며, IQR는 중간 절반만을 설명하므로 전체 범위가 크더라도 상자 자체가 좁을 수 있습니다.

풀이된 사례

• Known: classes 0–10, 10–20, 20–40 with frequencies 20, 30, 20. Widths are 10, 10, 20, so densities are 2, 3, 1. The last bar is shortest despite 20 observations because its width is double; the areas 20, 30, 20 recover the frequencies exactly.

예시:

grouping된 데이터에 대해 중심점을 사용하여 평균을 추정하십시오. 같은 순서를 따르십시오: 중심점 → 가중 합 → 나누기. (정답: 중심점 5, 15, 30이 추정 합 5×20 + 15×30 + 30×20 = 1,150를 주며, 추정 평균 = 1,150/70 ≈ 16.4입니다. 각 계급이 중심점으로 대표되므로 이는 추정치입니다.)

한계 및 함정

• 가장 높은 막대가 반드시 가장 빈도가 높은 것은 아닙니다. 먼저 폭을 확인하십시오. 누적 빈도 그래프는 상한 계급 경계에서Running totals를 plotting하며, 여기서 읽은 사분위수는 정확한 측정치가 아닌 보간 추정치입니다.

경고:

히스토그램 막대의 높이는 항상 빈도와 같다는 주장은 부등간폭에서도 성립한다는 것입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 높이는 빈도 밀도이며, 오직 면적이 빈도와 같습니다. 폭이 20이고 밀도가 1인 넓은 막대와 밀도가 2인 좁은 막대는 정확히 같은 양의 데이터를 포함합니다.

핵심:

데이터 표현 및 해석: 히스토그램의 면적이 빈도를 나타내고, grouping된 통계는 중심점 추정치이며, 상자 그래프는 맥락에서 중위수와 IQR를 비교하며, 모든 비교는 축의 단위와 스케일에서 시작합니다.