J · Vectors

AQA A-level 수학 7357, J 션(벡터), 버전 1.3(최초 평가 연도 2018). 원본 교수 자료입니다.

전공 지식: 섹션 C의 좌표 기하학 및 피타고라스 정리.

These are original teaching examples, not official AQA material.

질문

• 드론이 A(1, 2)에서 B(5, 5)로 비행하지만, 미션 소프트웨어는 귀환 경로도 요청합니다. 외향 변위와 정확한 역변위를 모두 제공하는 단일 공식은 무엇입니까?
• 읽기 전에 변위 터에 거리 외에 무엇이 필요한지, 그리고 귀환 경로는 어떻게 다른지 말하십시오.

방법론

• 벡터는 크기와 방향을 가집니다. 위치 벡터는 한 원점에서 점을 위치화합니다; A에서 B로의 변위는 AB = b − a이며, BA = −AB는 이를 반전시킵니다. 성분을 더하거나 빼고, 스칼라 배수는 벡터를 평행하게 유지합니다.
• 내적 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ는 각도를 측정합니다: 서로 직교하는 벡터의 내적은 a·b = 0이며, a·a = |a|²입니다. 크기는 피타고라스 정리에 의해 구합니다: |(4, 3)| = 5.
• 벡터: 크기와 방향을 가진 양; 변위: 한 점에서 다른 점으로 가는 벡터, b − a; 스칼라 곱: 성분 곱의 합으로, |a||b| cos θ와 같습니다.

작업 검증

• Keep the order of subtraction: BA = −AB, so swapping endpoints reverses every component. A claimed parallel needs a scalar-multiple relation between the vectors; a sketch alone is not a proof.
• 세 점이 일렬임을 보려면 두 변위가 평행이고 공통점을 공유함을 보여야 합니다. 서로 다른 위치의 평행 벡터는 한 직선에 대해 아무것도 증명하지 못합니다.

풀이된 사례

• Known: a = (4, 1) and b = (1, 3). The scalar product is a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. The magnitudes are |a| = √17 and |b| = √10, so cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, giving θ ≈ 57.5°. Since a·b ≠ 0, the vectors are not perpendicular.

예시:

A(1, 2)와 B(5, 5)가 있을 때 변위 AB, 그 크기 및 귀환 변위를 동일한 순서로 구하십시오. (정답: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3)로, 크기는 같으나 방향은 반대입니다.)

한계 및 함정

• 벡터는 "얼마나 그리고 어떤 방향으로"를 답합니다; 거리는 스칼라에 불과합니다. 내적은 방향을 고려하며, 벡터가 평행할 때 최대이고 수직일 때는 0이며, 반대로 향할 때는 음수입니다.

경고:

AB와 BA는 같은 성분을 가집니다. 이 주장은 틀렸습니다: BA = −AB로 모든 성분이 부호만 바뀝니다. B에서 A로 돌아가는 것은 (−4, −3)이지 (4, 3)가 아닙니다. 크기와 방향만 다릅니다.

핵심:

벡터: 변위 = 끝점 − 시작점, 환원 구간으로 부호가 뒤집힙니다; 성분은 합해지고; 스칼라 배수는 평행합니다; 내적은 각도를 주며, 수직 조건은 a·b = 0입니다.