A.4 · 環、理想およびモジュール
GRE Subject Test · GRE Mathematics トピック 10 2:50 英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
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This unit distinguishes units, zero divisors and integral domains; identifies ideals and interprets quotient rings; compares modules over rings with vector spaces over fields; and derives Boolean-ring properties without assuming commutativity.
本单元区分单位、零因子和整环；识别理想并解释商环；把环上的模与域上的向量空间作比较；并在不假设交换律的前提下推导布尔环的性质。
A unit has a multiplicative inverse.
单位有乘法逆元。
A nonzero zero divisor multiplies some nonzero element to zero.
非零零因子与某个非零元素相乘得零。
An integral domain has none, so cancellation works.
整环没有零因子，所以可以约去。
A field is a domain where every nonzero element is a unit.
域是每个非零元素都是单位的整环。
Z is a domain but not a field; Z mod 6 is neither.
Z 是整环但不是域；Z/6Z 两者都不是。
An ideal is an additive subgroup that absorbs multiplication by every ring element, stronger than being a subring.
理想是吸收与每个环元素乘法的加法子群，比子环更强。
In a commutative ring, R over I is a field exactly when I is maximal, and a domain exactly when I is prime.
在交换环中，R/I 是域当且仅当 I 是极大理想，是整环当且仅当 I 是素理想。
A module allows scalars from a ring.
模允许标量取自环。
Every abelian group is a Z-module, but 6 times the residue 1 is zero in Z mod 6: torsion, impossible over a field.
每个交换群都是 Z-模，但在 Z/6Z 中 6 乘剩余 1 等于零：这是挠元，在域上不可能。
In a Boolean ring, a squared is a; idempotence of a plus a gives 2a equals 0, and expanding a plus b squared gives ab equals ba.
布尔环中 a² = a；由 a + a 的幂等性得 2a = 0，展开 (a + b)² 得 ab = ba。
In Z/6Z, 2 times 3 is 0, so 2 and 3 are zero divisors, and so is 4.
在 Z/6Z 中 2 × 3 = 0，所以 2 和 3 是零因子，4 也是。
The units are 1 and 5, because their gcd with 6 is 1.
单位是 1 和 5，因为它们与 6 互素。
In Z, the ideal 5Z gives a field, while 6Z gives a quotient with zero divisors.
在 Z 中，理想 5Z 给出一个域，而 6Z 给出有零因子的商环。
A set can be a submodule without being a vector space over the rationals.
一个集合可以是子模，却不是有理数上的向量空间。
Scalar division is valid only when the scalar inverse belongs to the structure.
只有当标量的逆元属于该结构时，才能做标量除法。
The units are the residues coprime to 12: 1, 5, 7 and 11.
单位是与 12 互素的剩余：1、5、7、11。
Every other nonzero residue is a zero divisor.
其余每个非零剩余都是零因子。
The ideal 4 gives a quotient like Z mod 4, where 2 times 2 is 0: not a domain and not a field, so the ideal is neither prime nor maximal.
理想 (4) 给出同构于 Z/4Z 的商环，其中 2 × 2 = 0：既不是整环也不是域，所以这个理想既不是素理想也不是极大理想。
A free Z-module has no nonzero vector killed by a nonzero integer, but 6 times 1 is 0 in Z mod 6, so it is not free.
自由 Z-模中没有被非零整数零化的非零向量，但在 Z/6Z 中 6 × 1 = 0，所以它不是自由的。
Z over 2 is the field with two elements, and evaluation at zero shows Q x over x is Q: both ideals are maximal and prime.
Z/(2) 是二元域，而在零点求值说明 Q /(x) ≅ Q：两个理想都是极大的，也是素的。
Check yourself.
自我检测。
The units of Z mod 6 are 1 and 5.
Z/6Z 的单位是 1 和 5。
Z is a domain, not a field.
Z 是整环，不是域。
A maximal ideal gives a field.
极大理想给出域。
Z mod 6 is not free, because of torsion.
Z/6Z 有挠元，所以不是自由模。
And in a Boolean ring, 2a is zero.
布尔环中 2a = 0。