同値な表現と定義域の制限
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| factor/ˈfæktə/ | 因数 |
| domain restriction/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃn/ | 定義域の制限 |
解答前に考えるべきこと
- 有理式の分子から x-2 を約分すれば式を簡略化できますが、元の分母がゼロになっても構わないわけではありません。
- 目標: 値を変えずに式を展開および因数分解すること。
関係性を読む
- 展開では各因子を他の因子に分配し、因数分解はその逆のプロセスです。x²-5x+6=(x-2)(x-3) なので、積の形は零点を明らかにし、展開の形は係数を明らかにします。質問に最も適した形を選択してください。ある表现形式を常に優先すべきだと考えないでください。
- 元の定義域上で有理式および根号式を簡略化します。
Simplify (x²-16)/(x-4), with x≠4.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Difference of squares gives (x-4)(x+4).
定義ルールを使う
- 和の項ではなく因子を約分してください。(x²-4)/(x-2) は、元の式が 2 で定義されないため、x≠2 の場合にのみ x+2 となります。簡略化した式から分母が消えても、制限条件が残ることがあります。約分する前にそれを明記し、比較や方程式求解の過程で引き継いでください。
- 式の構造を用いて、零点と係数を特定する。
For x=-6, √(x²) equals:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The principal root is |x|.
条件を確認する
- 指数の法則は適用条件に依存する：許容される実数域において a^m・a^n=a^(m+n) および (a^m)^n=a^(mn) が成り立つ。負の指数は逆数を形成し、ゼロでない底を必要とする。実数の平方根では、主平方根が非负であるため √(x²)=|x| となる。これはすべての実数 x に対して x そのものではない。
- 式の構造を用いて、零点と係数を特定する。
(x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 （ただし x≠3）。x=3 のとき元の式は定義されない。x=-5 において、√(x²)=5=|x| となる。(2x+1)(x-4) において、x の係数は -8+1=-7 であり、展開した完全な式は 2x²-7x-4 となる。
In (x+2)(x+5), the x coefficient is ____.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The two x terms contribute 5x+2x.
タスク形式を適用する
- 同値性を確認するためには、数値代入で誤りを検出できるが、一つの値が一致しても二つの式が等しいことを保証しない。有効な代数恒等式と一致する定義域があれば真となる。問題で係数を求めている場合は、必要な範囲まで展開し、その次数への寄与をすべて考慮する。
- 式の構造を用いて、零点と係数を特定する。
簡略化された式は、必ずしもより大きな定義域を持つ等価関数とは限りません。加減の項を約分することはできません。
このケースに当てはまる答えはどれか？
値を変えずに式を因数分解および展開する
Matching at x=1 proves two expressions equivalent for all x.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Different expressions can share one value.
区別を保つ
- 因数 — another expression を掛けて積を作るために用いられる式。
- 定義域の制限 — 元の式が定義されない値を除外する条件。
- 値を変化させずに因数分解および展開を行う。
- 元の定義域上で有理式および根号式を簡略化します。
- 式の構造を用いて、零点と係数を特定する。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.