複素数と累乗根
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | 共役複素数 |
ルートが実数でない場合は？
- 方程式 x²+1=0 は実数解を持たない。数の系を拡張することで、両方の根を表し計算することが可能になる。
- この授業では共役複素数を学習します。虚部の符号を反転して得られる数のことです。
数学的構造を選択せよ
- i²=-1と置いたとき、z=a+bi と表せます。その共役数は a-bi であり、z とその共役数の積は a²+b² です。絶対値（モジュラス）は √(a²+b²) で、偏角は正しい象限を選ぶ必要があります。実係数の多項式では、共役な解が対になって現れます。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
なぜ 1/(3+4i) に (3-4i)/(3-4i) を掛けるのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
z とその共役複素数の積は |z|²=a²+b² であり、実数である。この実数で割ることで、きれいな a+bi 形になる：(3-4i)/25。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
z=3+4i のとき、|z|=5 であり、zの共役复素数は3-4i である。逆数は (3-4i)/25 である。x²-6x+13=0 の解は 3±2i である。共役复素数との積をとることで、複素分母を実数にする。
複素数と累乗根
z=a+bi（ただし i^²=-1）と表す。
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
|3+4i| を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
絶対値=√(3²+4²)=5。
魅力的な近道を検証せよ
- 和の平方根は平方根の和とは限りません。単なる逆正接関数だけでは、誤った象限を返すことがあります。絶対値（モジュラス）と絶対値の二乗を混同しないでください。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
a+bi について、その絶対値は常に a+b であるという主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
(3+4i)(3-4i)の実部を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
共役複素数の積により、3²+4²=25となり、虚部は相殺される。
a+biに対して、その絶対値は常にa+bとなる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
和の平方根は平方根の和とは等しくない。逆正接関数だけでは正しい象限を返さない場合がある。絶対値と絶対値の二乗を混同しないように注意せよ。
新しい状況を読み解く
- 実軸を水平に、虚軸を垂直に描きます。積については、絶対値は掛け合わせられ、偏角は足し算されます。デ・モワールの定理によって、この幾何学的なパターンは冪の計算にも拡張されます。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
1/(3+4i)の実部を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分子と分母に3-4iを掛けて、1/(3+4i)=(3-4i)/25とする。その実部は3/25=0.12である。
各複素量を定義と対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
絶対値は距離であり、共役複素数は実軸について対称移動される；それらの積は常に実数かつ非負である。
コースでこれを使用する
- Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
虚部符号を反転させた数である。関係を選び、手順を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。