量子占有および等分配則の限界
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | 平均占据数 |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | エネルギー等分配則 |
解答前に考えるべきこと
- フォーミンのエネルギーレベルは複数の異なる状態を含む場合、複数の粒子を収容できる；排除原理は完全な状態ごとに適用される。
- 目標：フォートンとボソンの完全量子状態あたりの平均占 occupancy を計算すること。
完全状態への占 occupancy を割り当てる
- 熱的粒子交換平衡にある非相互作用粒子に対しては、化学ポテンシャルμとx=(ε−μ)/(kBT)を用いる。完全状態1つあたりの平均占有数は、フェルミオンがn_F=1/(e^x+1)、ボソンがn_B=1/(e^x−1)である。フェルミオンの占有はその状態で0または1であり、平均値はその間にある。ボソンの占有数は1を超えることができる。
- 縮退度 g のレベルについて、その状態が同じエネルギーを共有する場合、総平均値は単一状態占有数の g 倍となる。スピンを完全状態の一部として数える。通常の有限式についてはボス因子に ε>μ が必要であり、基底状態の極限は別途扱う。平衡フォトンについてはフォトン数が保存されないため μ=0 である; すべての物質粒子ガスで μ=0 と設定してはならない。
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
区別できない配置を数える
- 粒子を同一視してラベル付けするのではなく、占領パターンを数える。4つの異なる完全状態に2つの同一フェルミオンが分布する場合、許容されるパターンはchoose(4,2)=6である。一方、同一ボソンの場合、両者が同じ状態を共有できるため、パターン数はchoose(4+2−1,2)=10となる。2つの区別可能な粒子（ラベル付き）であれば、4²=16の割り当てが可能である。
- これらは異なる数え方モデルであり、同一の仕様に答える3つの交換可能な答えではない。問題にスピン縮退が与えられた場合、まずその数値が完全状態を数えているのか、それとも軌道レベルのみを数えているかを判断せよ。2つの同一完全状態へのパウリ禁止は、同一空間軌道内の逆スピンフェルミオンの存在を禁じるものではない。
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
希薄近似を確認する
- x が大きく正のとき、occupancy は小さく、両方の分母は e^x で支配される: n_F≈n_B≈e^(−x)、これはマクスウェル・ボルツマンの希薄極限である。x=ln4 のとき、フェルミオンの平均は 1/5、ボソンの平均は 1/3、古典近似では 1/4 となる。差はまだ有意である。
- 総粒子数が大きいことだけでは古典統計を正当化できない：密度、温度、利用可能な状態が occupancy を制御する。低温フェルミオンにおいて、μ 以下の状態はほぼ occupancy し、それ以上の状態はほぼ空となる。ε=μ におけるフェルミオン状態の平均 occupancy は半分であり、この値を通常のボス式に代入すると発散する分母が生じ、別の極限処理が必要となる。
x=(ε−μ)/(kBT)=ln4において、単一状態のn_F=0.2またはn_B=1/3となる。したがって、5重縮退レベルの平均 occupancy は、フェルミオンで1、ボソンで5/3である。他のxでは、5つの異なる状態が存在するため、フェルミオンの総 occupancy が1を超えることがある。ε/(kBT)=ln2の量子振動子は、平均励起エネルギーεを持ち、C/kB=2(ln2)²=0.960906となり、古典値の1に近いが異なっている。
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
量子モードと古典モードをテストする
- 古典的な等分割則は、平衡したハミルトニアンの各独立した二次項に kBT/2 の平均エネルギーを割り当てる。単原子理想気体には3つの並進項があり、U=3NkBT/2 および C_V=3NkB/2 となる。1つの古典的な一次元調和振動子には運動エネルギー項と位置エネルギー項があり、平均 kBT および C=kB を与える。
- 固定間隔 ε=ℏω の量子振動子について、温度非依存零点エネルギーからの熱エネルギーは ε/(e^x−1) であり、ここで x=ε/(kBT) である。また、C/kB=x²e^x/(e^x−1)² となる。高温では古典値に近づくが、低温では励起が凍結し C→0 となる。零点エネルギー ε/2 は U をずらすが C には影響しない。分子の回転・振動寄与についても、古典的な二次項を割り当てる前にエネルギースケールを確認する必要がある。
完全状態から2つのフェルミオンを除外すべきであり、縮退エネルギーレベル全体から除外してはいけない。使用されているxの値を明記すること。化学ポテンシャルによるoccupancyと固定された振動子の励起式は異なるモデルである。
このケースに当てはまる答えはどれか？
フェルミオンおよびボソンについて、完全量子状態ごとの平均占有数を計算する
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
区別を保つ
- 平均 occupancy — 1つの完全な量子状態または指定された状態グループ内にある粒子のエンセムブル平均数。
- 等分割 — 各独立した二次ハミルトニアン項に kBT/2 を割り当てる古典平衡則。
- フェルミオンおよびボソンの完全量子状態ごとの平均occupancyを計算する。
- 許容される同一粒子の occupancy を数え、古典的な希薄極限を特定する。
- 古典的な二次モードの熱容量と量子振動子の応答を比較する。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.