関連する微分率と除去可能な商の極限
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| removable limit/rɪˈmuːvəbl ˈlɪmɪt/ | 除去可能極限 |
| related rate/rɪˈleɪtɪd reɪt/ | 関連変化率 |
解答前に考えるべきこと
- 水深の変化率は体積流量ではない：タンクの断面積は水深によって変化する。商の極限が有限値を持つとしても、それが微分可能な拡張関数を直接与えるわけではない。
- 目標：幾何学的な変化率を関連する量の導関数に変換すること。
関係性を読む
- 変化水深 h(t) に依存する量 V について、合成関数の微分法は dV/dt=V′(h) dh/dt を与える。排水中のタンクでは dh/dt<0 なので、符号付き dV/dt は負であり、流出の大きさはその負の値である。数値を代入する前に幾何学を描き、瞬間的な水深に名付けよう。状況が実際に一定の平均変化率を指定しない限り、変化率を経過時間による静止した体積の比として扱うな。
- 球冠の体積公式を導き、微分せよ。
A radius-3 spherical tank has depth 1 decreasing at 1/4 per time unit. What is the positive outflow magnitude?
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Cross-section area is π(2Rh−h²)=5π. Multiply by depth-decrease magnitude 1/4.
定義ルールを使う
- 半径 R の球形タンクにおいて、底面からの深さ h における断面積の半径の二乗は R² − (R−h)² = 2Rh − h² である。これらの円形面積を積分すると、キャップ体積 V(h) = π(Rh² − h³/3) が得られ、0 ≤ h ≤ 2R である。その導関数 π(2Rh − h²) は現在の断面積である。R=3, h=1, dh/dt=−1/4 のとき、符号付き体積変化率は −5π/4 であり、流出量の大きさは 5π/4 である。この式は指定された範囲内の浅いキャップおよび深いキャップの両方に有効である。
- 連続な商の拡張と微分可能な拡張を区別せよ。
For x≠0, f(x)=x|x|,g(x)=x. What happens when f/g is filled in at zero?
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The quotient is |x|. Filling in zero gives continuity, while the left and right derivatives are −1 and 1.
条件を確認する
- f と g が 0 近傍で連続的微分可能で、f(0)=g(0)=0 かつ g′(0)≠0 の場合、f(x)/g(x) は f′(0)/g′(0) に収束する。これは f(x)=f′(0)x+o(x) および g(x)=g′(0)x+o(x) から導かれ、g′ の連続性により零以外の近傍で商が定義されていることを保つ。この極限を埋め込むことで連続な拡張が得られる。この議論は f′(0) が非零であることを要求せず、拡張された商が微分可能であることを証明するものでもない。
- 連続な商の拡張と微分可能な拡張を区別せよ。
R=3、深さ h=1 の球において、断面積は π(6−1)=5π です。 時間単位あたり 1/4 の深さ減少 therefore 体積は時間単位あたり 5π/4 の絶対値で失われます。 f(x)=sin(2x)、g(x)=3x について、商は0で値 2/3 として連続的に拡張されます。 この極限はタンクのサイズについて何も示さず、従属変数を特定せずに導関数の速度として代入すべきではありません。
For f(x)=sin(2x) and g(x)=3x, express the removable quotient value as a fraction: ____.
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The derivatives at zero are 2 and 3, so their quotient gives the limit 2/3.
タスク形式を適用する
- f(x)=x|x| および g(x)=x について、どちらも連続的に微分可能であり、f(0)=g(0)=0 および g′(0)=1 である。x≠0 における商は |x| であり、これは零点で連続に延長されるが、そこで片側微分係数が不等である。(f²−f)/(2g−g³) を因数分解すると (f/g)(f−1)/(2−g²) となり、その除去可能な極限は −f′(0)/(2g′(0)) である。追加の因数は −1 と 2 に近づく。商の極限とその延長の導関数を区別すること。
- 連続な商の拡張と微分可能な拡張を区別せよ。
総タンク表面積ではなく瞬時の断面積を使用してください。 指示に従って符号付き体積変化または正の流出量を報告してください。 有限の可除商の極限は、埋め込みられた商の微分可能性ではなく、連続性を確立します。
このケースに当てはまる答えはどれか？
適応率を関連する量の導関数として表す
A continuously differentiable numerator and denominator with simple denominator zero always give a differentiable quotient extension.
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The numerator x|x| and denominator x meet the assumptions, but their filled-in quotient |x| is not differentiable at zero.
区別を保つ
- 関連変化率 — 変化量間の関係式の微分によって得られる変化率。
- 除去可能な極限 — 連続的に欠落した関数の値を埋めるために用いられる有限の近傍極限。
- 幾何学的な比率を、関連する量の導関数に翻訳する。
- 球冠の体積公式を導き、微分せよ。
- 連続な商の拡張と微分可能な拡張を区別せよ。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.