LU分解と合成写像の零次元
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| forward substitution/ˈfɔːwəd ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 前方代入 |
| nullity/ˈnʌlɪti/ | 零度 |
解答前に考えるべきこと
- 行列式を一度分解し、異なる右辺を持つ多くの連立方程式を解く。この利点は2つの三角行列による求解から得られる；順序を逆転させると誤った結果が得られる。
- 目標：順列代入と逆列代入によって分解された線形系を解くこと。
関係性を読む
- 因数分解 A=LU は、正方形行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積として表す。対角成分が単位行列である L については、前進代入法が特に単純になる。可逆行列であっても、行交換なしにはこの形を持たないことがある：ゼロの先頭ピボットは置換を必要とする。PA=LU に対しては、Ly=Pb を解き、次に Ux=y を解く。置換は係数行列だけでなく右辺にも作用する。非ゼロの先頭主ピボットは、単なる可逆性だけでなく、通常の無置換消去法の正当性を裏付けている。
- ピボット選択に行の入れ替えが必要なら、一貫して適用すること。
For the stated unit-diagonal L and b=(−1,−1,12), what is the second coordinate of y solving Ly=b?
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y₁=−1 and the second row is 2y₁+y₂=−1. Therefore y₂=1.
定義ルールを使う
- Ly=b において、y は上から下へ既知項を差し引いて計算し、対角成分が 1 でない場合はそれでの除法を行う。Ux=y においては、x は下から上へ計算する。各方程式について、元の行に代入して検証を行う。LU を多数の右辺で再利用することで、消去処理を繰り返さずに済む：密集因数分解は次元に対して立方次の演算量となるが、各三角行列による解 demandingは二次次の演算量である。正確な演算では小規模な例で検証可能だが、数値的ピボットは丸め誤差の問題を一部軽減できるものの、本質的な不良条件性を完全には除去できない。
- 合成写像の核の次元を、像と核の交わりを用いて評価する。
A,B are maps R⁶→R⁶ with nullity A=2 and nullity B=3. What range is possible for nullity of A∘B?
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Nullity B contributes 3, and im B∩ker A has dimension from 0 to 2 in this ambient space.
条件を確認する
- B:V→W および A:W→Z について、ker B は ker(A∘B) に含まれるが、後者はより大きいことがある。追加されるベクトルとは、B によって ker A に写されるものである。B を ker(A∘B) に制限すると、その像は im B∩ker A となり、その核は ker B となる。この制限された写像に対する階数-零次元定理より、dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A) が得られる。追加の零次元数を決定するのは、A の全核ではなく、その交わりである。
- 合成写像の核の次元を、像と核の交わりを用いて評価する。
L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]]、U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]]、b=(−1,−1,12) とします。順代入により y=(−1,1,8) が得られます。逆代入により x₃=2、x₂=(1−4)/3=−1、x₁=(−1−(−1)+2)/2=1 が得られます。したがって x=(1,−1,2) です。 Ux を掛けると y に、Ly を掛けると b になり、因数分解の順序を独立して確認できます。
In the example, the last U equation is 4x₃=8. The value of x₃ is ____.
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Back substitution begins with the last row, giving x₃=8/4=2.
タスク形式を適用する
- R⁶ の自己同型写像において、A の零次元が2、B の零次元が3 の場合、rank B=3 であり、交わりの次元は 0 から 2 の間をとりうる。したがって A∘B の零次元は 3 から 5 の範囲にある。境界値は共通の中間空間に依存する：m 次元空間内での次元 r と s の部分空間について、その交わりの次元は max(0,r+s−m) から min(r,s) の間にある。合成の順序を逆転させても AB と BA がともに定義されていれば、零次元は変化しうる。これらの公式を適用する前に、互いに整合した空間を選択すること。
- 合成写像の核の次元を、像と核の交わりを用いて評価する。
まず L で、次に U で解き、PA=LU の場合は b を並べ替えます。写像の合成の零空間（nullity）は、必ずしも2つの零空間の和ではありません；画像と核の交わりが零空間 B に加算される場合に限ります。
Which answer fits this case?
Solve a factored linear system by forward and backward substitution
Every invertible matrix has an LU factorisation with unit lower triangular L without row exchanges.
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The invertible matrix [[0,1],[1,0]] has a zero first pivot and cannot have that no-exchange unit-lower LU form. A row permutation repairs the pivot order.
区別を保つ
- 順列代入 — 下三角行列系を最初の方程式から順に解くこと。
- 零次元 — 線形写像の核の次元。
- 順列代入と逆列代入によって分解された線形系を解く。
- ピボット選択に行の入れ替えが必要なら、一貫して適用すること。
- 合成写像の核の次元を、像と核の交わりを用いて評価する。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.