暗黙微分法と逆ヤコビアン
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| local inverse/ˈləʊkl ɪnˈvɜːs/ | 局所逆写像 |
| Jacobian matrix/dʒæˈkəʊbɪən ˈmeɪtrɪks/ | ヤコビ行列 |
解答前に考えるべきこと
- 二つの出力座標はそれぞれ両入力に依存できる。入力感度を回復するには、一要素の逆数ではなく、全ヤコビ行列の逆行列を計算する必要がある。
- 你的目标：連立暗記系を線形系として微分すること。
関係性を読む
- 可微分写像 F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) のヤコビ行列は J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]] である。微小変化は [dx,dy]ᵀ=J[du,dv]ᵀ で一階近似される。y を固定したまま u_x を求めるには、定義方程式の両方を x で微分する：f_u u_x+f_v v_x=1 および g_u u_x+g_v v_x=0。これらは連立線形系であり、独立したスカラー逆則ではない。
- 非ゼロヤコビ行列式を用いて局所逆が存在することを正当化せよ。
For x=u+v,y=u+2v, what is u_x when y is held fixed?
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The inverse matrix of [[1,1],[1,2]] is [[2,−1],[−1,1]]. Its top-left entry is u_x=2.
定義ルールを使う
- f と g が点近傍で連続的微分可能であり、Jacobian行列の行列式 det J=f_u g_v−f_v g_u がその点でゼロでない場合、逆関数定理により可微分な局所逆が存在する。その導関数は J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]] である。よって u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J, v_y=f_u/det J となる。すべての導関数は対応する点で評価されなければならない。局所逆が全域逆に拡張されるとは限らない。
- 逆偏導関数とスカラー逆則を区別せよ。
J=[[2,1],[1,−1]]. What is v_y in the inverse derivative matrix?
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det J=−3. The bottom-right inverse entry is 2/(−3)=−2/3.
条件を確認する
- 暗記方程式 H(u,v,x,y)=0 および K(u,v,x,y)=0 において、求める独立座標を固定して微分する。[[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x]ᵀ=−[H_x,K_x]ᵀ を解く。未知変数 u,v における行列式が非ゼロでなければ、通常の暗記関数定理を用いられる。右辺の符号は既知の導関数を他の側へ移したことに由来する。行列式が零になれば、この定理は判断不能であり、逆や暗記解が存在しないことを直接証明するものではない。
- 逆偏導関数とスカラー逆則を区別せよ。
x=u²+v および y=u−v とおく。(u,v)=(1,0) における出力は (1,1) であり、J=[[2,1],[1,−1]] の行列式は −3 である。逆行列は [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]] なので、その点で u_x=1/3 および v_y=−2/3 となる。Jにこの逆行列を掛けると単位行列になる。逆数 1/f_u=1/2 は u_x ではない。なぜなら、yを一定に保つためにuを変えるときvも変える必要があるからである。
The determinant of J=[[2,1],[1,−1]] is ____.
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Compute 2·(−1)−1·1=−3.
タスク形式を適用する
- 単一変数の逆数 du/dx=1/(dx/du) は導関数がゼロでない場合に成立するが、通常 coupled system では v が yを一定に保つために変化するため成立しない。x=u+v, y=u+2v において、J=[[1,1],[1,2]] の行列式は 1 であり、逆行列は [[2,−1],[−1,1]] である。したがって u_x=2 である一方、1/f_u=1 となる。逆ジャコビアン行列は微分的感度を変換する；変数変換の積分では、面積や体積のスケールに使用するのは絶対行列式であり、選んだ逆行列の成分ではない。
- 逆偏導関数とスカラー逆則を区別せよ。
両方の方程式を微分し、どの出力が固定されているかを明記せよ。正則性仮説の下、非ゼロ行列式は局所逆の存在を保証する；ゼロ行列式は不可能性の証明ではない。感度には逆行列の要素を、積分には絶対行列式を用いる。
このケースに当てはまる答えはどれか？
連係陰的系を線形系として微分する
A zero Jacobian determinant proves that the underlying map has no inverse of any kind.
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The usual differentiable inverse theorem is inconclusive. For example (u,v)↦(u³,v) is bijective but has zero determinant at u=0 and an inverse not differentiable there.
区別を保つ
- ヤコビ行列 — ベクトル値写像の一次偏導関数の行列。
- 局所逆 — 特定の入出力点近傍で定義された逆関数。
- 連立暗記系を線形系として微分する。
- 非ゼロヤコビ行列式を用いて局所逆が存在することを正当化せよ。
- 逆偏導関数とスカラー逆則を区別せよ。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.