ベクトル幾何学、射影および定向面積
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | 外積 |
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | 直交 |
解答前に考えるべきこと
- 2つの経路は同じ一般的な方向を指し、直角で交差するか、互いに反対向きになることがあります。内積はこれらの場合を区別し、外積はそれらが張る面積を測定します。
- 目標：内積を使用して角度を分類し、射影を計算すること。
関係性を読む
- 非ゼロの実ベクトル u, v に対して、u·v=|u||v| cos θ です。正、零、負の内积はそれぞれ鋭角、直角、鈍角に対応します。u 沿いの v のスカラー射影は (v·u)/|u| であり、ベクトル射影は ((v·u)/(u·u))u です。この射影からの差分は u と直交します。射影されたベクトルとその符号付きスカラー成分を混同しないでください。零ベクトルはすべてのベクトルと直交しますが、定義された角度の方向を持ちません。
- 外積を使用して三角形の面積と向きを計算します。
Triangle vertices are (0,0,0),(2,0,0),(0,3,0). What is its area?
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The edge cross product has magnitude 6. Triangle area is half the spanned parallelogram area.
定義ルールを使う
- 3次元ベクトルにおいて、u×v は両方に対して垂直で、長さは |u||v| sin θ です。座標計算には (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁) を使用します。この長さは平行四辺形の面積なので、2つの辺ベクトルからなる三角形はその半分の面積になります。順序を逆転させると外積も逆転しますが、面積は維持されます。両方の辺ベクトルを同一の頂点から作ってください。2つの無関係な位置ベクトルを交差させることは、通常、誤った三角形を測定することになります。
- 平面の内積符号構成を構築または却下してください。
What is the vector projection of (3,4) onto the line spanned by (1,0)?
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Multiply (1,0) by the coefficient ((3,4)·(1,0))/((1,0)·(1,0))=3.
条件を確認する
- 非ゼロの法線 n を持つ点 p を通る平面の方程式は n·(x−p)=0 です。q から平面までの距離は |n·(q−p)|/|n| であり、分母は方程式のスケールを正規化します。スカラー三重積 u·(v×w) は符号付き平行六面体の体積を与え、その絶対値は幾何学的体積です。三重積がゼロであることは、各ペアが直交または平行である必要はなく、3つの辺ベクトルの間に依存関係があることを意味します。
- 平面の内積符号構成を構築または却下してください。
p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0) とするとき、辺ベクトルは u=(2,0,0), v=(0,3,0) である。外積は (0,0,6) となり、三角形の面積は 3 となる。w=(3,4) および u=(1,0) に対し、ベクトルの射影は (3,0)、直交成分は (0,4) である。平面 2x−y+2z=6 の法線の長さは 3 なので、原点からの距離は 6/3=2 となる。
The distance from the origin to 2x−y+2z=6 is ____.
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Divide the absolute constant 6 by the normal length √(4+1+4)=3.
タスク形式を適用する
- 4つの平面ベクトルについて、6つの順不同の内積があります。配置 e₁,−e₁,e₂,−e₂ は2つの負の内積と4つのゼロを持ちます； e₁,e₁,e₂,e₂ は2つの正の内積と4つのゼロを持ちます。4つの非ゼロベクトルがすべてのペアwiseの内積を負にすることはできません。円周上の方向を並べ替えると、各連続的な角度間隔は 90° を超える必要があり、4つの間隔の和が 360° を超えることになります。零ベクトルは厳密な負の要件を救うことはできません。なぜなら、その内積はゼロになるからです。
- 平面の内積符号構成を構築または却下してください。
外積の大きさは平行四辺形の面積なので、三角形にするには半分にする。内積がゼロであることは、零ベクトルであっても代数的な直交性を示す。平面までの距離を求める際は、必ず法線の長さで割る必要がある。
このケースに当てはまる答えはどれか？
内積を用いて角を分類し、投影を計算する
Four nonzero vectors in R² can have all six unordered pairwise dot products negative.
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Consecutive direction gaps would all exceed 90°, contradicting their total 360°. Zero vectors would produce zero products instead.
区別を保つ
- 直交 — 実内積空間において、内積がゼロであること。
- 外積 — 3次元における向付きの垂直ベクトルであり、その大きさは張られる平行四辺形の面積です。
- 内積を使用して角度を分類し、射影を計算します。
- 外積を使用して三角形の面積と向きを計算します。
- 平面の内積符号構成を構築または却下してください。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.