環、理想およびモジュール
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| ideal/aɪˈdɪəl/ | 理想 |
| torsion/ˈtɔːʃn/ | 捻性 |
解答前に考えるべきこと
- 剰余体 ⟨6⟩ において、2つの非零値を掛け合わせるとゼロになる。どちらかを消去すると有効な解が失われる。
- 目標：単元、零因子および整域を区別すること。
関係性を読む
- 以下の領域、理想および剰余の例については、1 と異なる0 を持つ可換環を使用する。元の問題では一般の環を指定している場合があり、明示的または証明されていない限り、その積が可換であると仮定してはならない。単元には乗法逆元が存在する。非零の零因子は、ある非零元を掛けてゼロにする。整域にはそのような零因子がなく、非零の因数の消去が可能である。場とは、すべての非零元が単元である整域のことである。Z は整域だが場ではなく、Z/6Z はどちらも満たさない。
- 理想を同定し、剰余環を解釈する。
How many units are in Z/10Z?
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Only 1,3,7,9 are coprime to 10; each has a multiplicative inverse.
定義ルールを使う
- 理想 I は、環の任意の元による乗法を吸収する加法的部分群である。これは部分環であることよりも強い条件である。Z において nZ は理想であり、剰余元は n で割った整数の剰余類である。可換環において、R/I が場となるのは I が極大的理想であるときであり、I が素的理想であるときに限って R/I は整域となる。両方の命題において、I は真の理想でなければならない。
- 環上のモジュールと、場の上のベクトル空間を比較する。
Which integer ideal is maximal in Z?
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Z/7Z is a field because 7 is prime. The composite quotients have zero divisors, and Z/0Z is Z, not a field.
条件を確認する
- モジュールでは、場を必要とする代わりに環からスカラーを取得できる。すべてのアベル群は反復和により Z-モジュールとなるが、必ずしもベクトル空間基底を持たないとは限らない。Z/6Z を Z-モジュールとして見たとき、6 に非零の剰余 1 を掛けたものはゼロであり、これは位相性（トーション）である。一方、場の上のベクトル空間においては、非零のスカラーは逆元を持ち、非零のベクトルを零にすることはできない。
- 可換性を仮定せずにブール環の性質を導く。
Z/6Zにおいて、2·3=0なので、2と3は零因子である。単位数は1と5である。なぜならそれらの6との最大公約数は1だからである。Zにおいて、理想5Zは体Z/5Zを与え、6Zは零因子を含む商を与える。Z-モジュールとして、ZからZ/6Zへの写像の核は6Zであり、商は6の倍数で異なる整数を同一視するものであり、実ベクトル空間を生むものではない。
In Z/8Z, the least positive integer k for which k times the residue 2 is zero is ____.
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2k is divisible by 8 first at k=4.
タスク形式を適用する
- 部分モジュールは加算と許容されたすべてのスカラー作用に対して閉じている。モジュールの線形写像は両方を保つ。核と像は部分モジュールであり、核による剰余は像と同型である。適切な自由モジュール設定を確立せずに、任意のモジュールに対して有限次元の階数・欠陥定理を適用してはならない。整数の行演算と場の行演算では、許容される除算が異なる。一般的なブール環において、すべての a について a²=a が成り立つ。可換性を仮定して証明してはならない：a+a の冪等性より 4a=2a となるため、2a=0 である。(a+b)²=a+b を展開すると ab+ba=0 となり、特性2により −ba=ba であるため、ab=ba が導かれる。冪等性が零幂性を意味するわけではない：F2 において、非零元 1 は正の n すべてについて 1^n=1 を満たす。
- 可換性を仮定せずにブール環の性質を導く。
部分集合は部分モジュールであり得るが、有理数上のベクトル空間ではない。スカラー除算は、スカラー逆元が構造に含まれている場合にのみ有効である。
このケースに当てはまる答えはどれか？
単元、零因子、および整環を区別する
Every integral domain is a field.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Z has cancellation but the nonzero integer 2 has no inverse in Z.
区別を保つ
- 理想 — 環の任意の元による乗法を吸収する環の加法的部分群。
- 位相性（トーション） — 指定されたモジュールにおいて、非零のスカラーによって零にされる元。
- 単元、零因子および整域を区別する。
- 理想を同定し、剰余環を解釈する。
- 環上のモジュールと、場の上のベクトル空間を比較する。
- 可換性を仮定せずにブール環の性質を導く。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.