部分群、剰余類および商写像
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| coset/ˈkɒset/ | 類 |
| normal subgroup/ˈnɔːml ˈsʌbɡruːp/ | 正規部分群 |
解答前に考えるべきこと
- 12個の時計の位置を、時刻の加算ルールを損なうことなく3つの類に分類できます。どの位置が同値になる必要がありますか？
- 群構造を確認し、要素の順数と部分群のindexを計算すること。
関係性を読む
- 順数を計算する前に、指定された演算において閉包性、結合律、单位元、各要素の逆元の存在を確認してください。部分集合は結合律を引き継げるものの、閉包性が成り立たないか単位元を欠くことがあります。有限群において、ある要素の順数はその要素が単位元となる最小の正の冪です。加法群 Z/nZ においては、0 となる最小の正の倍数であり、剰余類 a の順数は n/gcd(a,n) です。ラグランジュの定理は、部分群の順数が群の順数で割り切れることを示しますが、その逆は一般に存在保証定理ではなく、群の順数は各要素の順数とは限りません。
- 核（カーネル）と像（イメージ）を用いて商群を同型類として識別すること。
What is the order of 8 in the additive group Z/20Z?
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The least positive k with 8k divisible by 20 is 5; equivalently 20/gcd(8,20)=5.
定義ルールを使う
- 左剰余類 gH は部分群 H の平行移動です。剰余類はすべて同じ大きさを持ち、群を分割するため、有限群における index は |G|/|H| です。加法群では g+H と書きます。同一の剰余類に含まれることは、その差が H に属することを意味します。通常、剰余類自体は部分群ではありません（単位元を含まないことがあるため）。
- 正規部分群と任意の部分群を区別すること。
A homomorphism from a finite group of order 30 has kernel of order 5. How many elements are in its image?
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Fibres are kernel cosets of size 5, so the image has 30/5=6 elements regardless of the codomain size.
条件を確認する
- 同态保持运算。其核由映射到单位元的元素组成，像由实际达到的值组成。每个核都是正规子群。第一同构定理指出 G/ker(phi) 同构于 im(phi)；除非映射是满射，否则不可用整个陪域替换像。
- 置換の類の同型を巡回種によって分類すること。
φ: Z/12Z → Z/3Z を剰余類を 3 で割った剰余類に写すことで定義します。これは全射であり、加法的性質も保ちます。その核 H は {0,3,6,9} なので、|H|=4、index は 12/4=3 です。他の剰余類は {1,4,7,10} と {2,5,8,11} です。したがって (Z/12Z)/H は Z/3Z に同型です。元の群における元素 3 の順数は 12/gcd(3,12)=4 であり、3 ではありません。
The permutation (1 2 3)(4 5) has order ____.
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Disjoint cycles require a multiple of both 3 and 2 steps; lcm(3,2)=6.
タスク形式を適用する
- 只有当 H 是正规子群时，商乘法才是良定义的。阿贝尔群的所有子群都是正规的。在非阿贝尔群中检验 gHg^−1=H；指数为二的子群是正规的。对于置换，按所述约定组合，此处最右侧最先作用。不相交循环的长度通过其最小公倍数决定置换的阶。共轭 hσh⁻¹ 重新标记 σ 循环中的元素，因此保持循环长度不变；反之，具有相同循环长度的置换可通过重新标记相互关联。因此 S_n 中的共轭类对应于 n 的分划，包括不动点循环。在 S4 中，类型为 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 和 4：共五类，而非每种可能的元素阶各一类。类型 2+1+1 和 2+2 的阶虽同为二，但彼此不共轭。
- 置換の類の同型を巡回種によって分類すること。
剰余集合は核の各元に対して1つではなく、各左剰余集合に対して1つの元を持つ。写像は指定された到達域に全射である必要はない。
Which answer fits this case?
Verify group structure and compute element orders and subgroup indices
Every subgroup of a nonabelian group is normal.
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In S3, conjugating the subgroup {identity,(1 2)} by (1 2 3) gives {identity,(2 3)}, a different subgroup.
区別を保つ
- 剰余集合 — 部分群の平行移動であり、剰余集合の分解の構成要素の一つである。
- 正規部分群 — 群の任意の元による共役変換に対して不変な部分群。
- 群構造を確認し、元素の順数と部分群の指数を計算する。
- 核（カーネル）と像（イメージ）を用いて商群を同型類として識別すること。
- 正規部分群と任意の部分群を区別すること。
- 置換の類の同型を巡回種によって分類すること。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The order follows the stated process; check each stage before the next.