複素関数論と留数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | 留数 |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | 解析的 |
解答前に考えるべきこと
- 2変数実関数として滑らかでも、複素微分可能性を満たさないことがある。
- 复数微分可能性を検証する。
関係性を読む
- f(z)=u(x,y)+iv(x,y) と書く。複素微分可能性は u_x=v_y および u_y=−v_x を課す；局所的に第一偏導関数が連続であれば、コーシー・リーマンの方程式により解析性が成立する。これは2座標写像の実微分可能性とは異なる。共役関数 x−iy は実偏導関数は存在するが、任意の開近傍でこれらの方程式を満たさない。便利な点だけでなく、検証されている領域全体を明言せよ。
- 閉曲線積分と留を用いる。
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
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The coefficient of the simple-pole term is 3.
定義ルールを使う
- 解析関数は近傍全体で複素微分可能であり、局所的に収束する冪級数を持つ。欠損点付近で有界であれば、除去可能な特異点は解析的に埋めることができる。極はローラン展開の有限主部を持ち、本質特異点は負のべき項が無限に存在する。留数是 (z−a)⁻¹ の係数であり、必ずしも最大次の負のべき項ではない。
- 単純極および高次の極の留数を用いて輪郭積分を評価せよ。
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
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Multiply residue 3 by 2πi.
条件を確認する
- 孤立極点 z=a の順数が m の場合、f(z)=g(z)/(z−a)^m と書き、g が a で正则とします。留数は g^(m−1)(a)/(m−1)! です。単一極点では g(a) を用い、二重極点では g′(a) を用います。これは g のテイラー展開から導かれます。したがって e^z/(z−a)² の留数は e^a ですが、純粋な二重極点の分母に対する定数分子の留数は零です。極点の順数だけでは、閉曲線積分を決定できません。
- 単純極および高次の極の留数を用いて輪郭積分を評価せよ。
f(z)=共軛(z) の場合、u=x, v=−y です。すると u_x=1 だが v_y=−1 なので、f は複素微分可能ではありません。1/(z−2) について、正向き円周 |z−2|=1 は留数 1 を持つ単一極点を内包するため、積分値は 2πi です。
The residue of 5/z at zero is ____.
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The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
タスク形式を適用する
- 孤立特異点を含む正向きの閉曲線に対して、留数定理により関数が閉曲線上および必要な内部他で正则である場合、∮f(z)dz = (内包された留数の和) × ⟨2πi⟩ となります。向きを逆転させると符号が変わります。コーシーの導関数公式は、適当な正則領域の仮定の下で ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz = ⟨2πi⟩ g^(m)(a)/m! です。閉曲線上に特異点がある場合は直接適用できず、外部にある特異点はこの閉曲線積分には寄与しません。
- 単純極および高次の極の留数を用いて輪郭積分を評価せよ。
連続性や実微分可能性だけでは、複素正則性を示すことができません。
このケースに当てはまる答えはどれか？
複素微分可能性を検証する
Every continuous complex function is analytic.
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Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
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For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
区別を保つ
- analytic — ある近傍全体で複素微分可能なこと。
- residue — ロラン展開における (z−a)^−1 の係数。
- 複素微分可能性の判定を行う。
- 閉曲線積分と留を用いる。
- 単純極および高次の極の留数を用いて輪郭積分を評価せよ。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.