多変数微積分とベクトル解析
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | 勾配 |
| Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/ | ヤコビアン行列式 |
解答前に考えるべきこと
- 斜面は一点で複数の勾配を持つ。移動方向によって実際に体感する勾配が決まる。
- 目標：偏微分、勾配ベクトルおよび方向導関数を計算すること。
関係性を読む
- 偏导数是在固定其他坐标的情况下改变某一个坐标。对于 f=x²+3xy，有 f_x=2x+3y 和 f_y=3x。梯度将这些导数汇总；若 f 可微，沿单位向量 v 的方向导数为 grad f·v。在此点积运算前需先将方向向量归一化。若使用长度为二且未归一化的方向向量，答案将翻倍。
- 重積分および座標変換を用いる。
Partial derivative with respect to x of x²y is:
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Treat y as constant.
定義ルールを使う
- 可微性意味着存在有效的线性近似，而不仅仅是在某一点存在某些偏导数。邻域内连续的一阶偏导数是充分条件。对于复合函数 f(x(t),y(t))，链式法则给出 f_x x′+f_y y′。二阶导数可能引入直接项和混合项；仅混合偏导数为零并不限制纯二阶偏导数。
- 導関数の条件を用いて平面と曲面を区別せよ。
The polar area element is:
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The Jacobian of the polar transformation is r.
条件を確認する
- 重積分は指定された領域にわたる寄与の総和である。反復積分の限界を選ぶ前に領域を記述せよ。非直方形の境界は順序が変わると変わることもある。極座標における面積要素は dr dtheta ではなく r dr dtheta である。一般的な座標変換では絶対値のヤコビアン行列式を使用する。符号は定向ベクトル quantity に属するが、面積や体積の拡大係数は非負の値を用いる。
- 導関数の条件を用いて平面と曲面を区別せよ。
f(x,y) = x² + 3y² について、勾配 f = (2x, 6y)。点 (1,1) における値は (2,6) である。方向 (3,4) における単位ベクトルは (3/5,4/5) であり、これにより方向導関数は 2·3/5 + 6·4/5 = 6 となる。
The magnitude of vector (3,4) is ____.
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Use sqrt(3²+4²)=5.
タスク形式を適用する
- 若在 R² 上全局定义的函数的一阶偏导数均为常数，即 f_x=a 和 f_y=b，依次积分可得 f=ax+by+c，这是一个平面。仅凭平行的直线等高线无法推断出此结论：e^x 具有垂直的平行等高线，但其图形是弯曲的。此外，即使 f_xy=f_yx=0 也不能断定其为平面：x²+y² 即为反例。需区分一阶导数的恒定性、不存在混合依赖性以及所选等高线的形状。
- 導関数の条件を用いて平面と曲面を区別せよ。
単位方向ベクトルでない場合、得られるのはスケールされた方向勾配であり、距離あたりの導関数ではありません。
このケースに当てはまる答えはどれか？
偏導関数、勾配および方向微分を計算する
Orientation never affects a line integral around a boundary.
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Reversing orientation changes a directed line integral’s sign.
区別を保つ
- 勾配 — 偏微分からなるベクトル。
- ヤコビアン — 座標変換における局所的な面積または体積の拡大率。
- 偏微分、勾配、および方向勾配を計算します。
- 重積分および座標変換を用いる。
- 導関数の条件を用いて平面と曲面を区別せよ。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.