代数学: 定義域、連立方程式、不等式と関数
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| domain restriction/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃn/ | 定義域の制限 |
| simultaneous solution/ˌsɪməlˈteɪnɪəs səˈluːʃn/ | 連立方程式の解 |
解答前に考えるべきこと
- x−1をキャンセルしても、もともとx−1で割っていた式においてx=1が有効になるわけではありません。
- 目標：分母および累乗根の制約を維持しながら方程式を解くこと。
関係性を読む
- 方程式を操作する前に制約を書いてください。分母はゼロでない必要があります。実数の偶数次の根号は非負の被乗数が必要です。因子をキャンセルすると式は元の定義域内でのみ保存されます。平方は符号情報を失うため候補を追加することがあります。平方前の関係式で各候補を検証してください。
- 不等式と同時条件を分析し、境界点を失わないようにしてください。
√(x+6)=x has which real solution?
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Squaring gives (x−3)(x+2)=0, but only nonnegative 3 works.
定義ルールを使う
- 求解方程组需要同一个有序数对满足所有关系式。代入法或消元法可揭示存在唯一解、无解或无穷多线性解的情况。对于不等式，乘以或除以负数需反转方向。对于因式分解后的二次不等式，需排列根的顺序并测试区间符号，仅在允许等号时才包含端点。
- 関数を評価し、言語による関係を代数に変換してください。
−2x<6 is equivalent to:
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Divide by negative −2 and reverse the sign.
条件を確認する
- 関数は、各許容される入力に対して1つの出力を割り当てます。合成関数の場合、まず内部関数を評価し、定義域の制約を維持してください。傾きは入力の単位あたりの出力の変化として読み取り、切片は入力が0のときの出力として読み取りますが、その入力が意味を持つ場合に限ります。言語モデルは変数名を明記し、量を互いに整合する単位に保つべきです。
- 関数を評価し、言語による関係を代数に変換してください。
对于 √(x+2)=x，需满足 x≥0。平方后得 x²−x−2=0，候选解为2和 −1。仅2满足原方程。对于 (x−1)(x−4)≤0，开口向上的二次函数在1≤x≤4范围内非正，包括根在内。在方程组 x+y=10, x−y=2 中，两式相加得 2x=12；故 x=6 且 y=4。对于 f(t)=2t+1 和 g(x)=x²，计算 f(g(3))=2·9+1=19 时，需先应用 g。
If f(x)=3x−2, f(4)=____.
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Substitute into the complete function rule.
タスク形式を適用する
- 数量比較問題では、許容されるすべての値を保持してください。x²=4 という変数は、制約がない限り −2 や 2 となる可能性があります。一つの反例で普遍的な関係が否定され、複数の好ましい代入でも全ての実数値について証明できるわけではありません。代数構造は、網羅的な数値サンプリングなしに関係を確立できます。
- 関数を評価し、言語による関係を代数に変換してください。
変形された方程式は候補を提供するものであり、自動的に元の解にはなりません。負の不等式乗数や厳密な端点については明示的な確認が必要です。
このケースに当てはまる答えはどれか？
分母や根号の定義域の制限を維持したまま方程式を解く
Simplifying (x²−1)/(x−1) removes the original exclusion x=1.
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Cancellation preserves the exclusion from the original denominator.
区別を保つ
- 定義域の制限 — 元の式が定義される入力の条件を特定すること。
- 同時解 — システム内のすべての関係式を同時に満たす値。
- 分母および根号の制限を維持したまま方程式を解く。
- 不等式と同時条件を分析し、境界点を失わないようにしてください。
- 関数を評価し、言語による関係を代数に変換してください。
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.