| English | 意味 |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | 最適化 |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | 制約条件 |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | 連動変化率 |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | 2曲線間の面積 |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | 限界費用 |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | 限界収益 |
固定体積が設計を制約する
- 蓋付き円柱の模型の体積は 500 cm³ で、平らな底と蓋があり、継ぎ目の厚みは考慮しない。半径と高さは独立して選べない。
- 最適化は、指定された実現可能な定義域内で必要な最大値または最小値を求めるものであり、物理的仮説はモデルの一部である。
変数を減らし候補を比較する
- 拘束条件を用いて目標関数を一変数で表す。蓋付き円柱の場合、$h=500/(\pi r^2)$ と $A(r)=2\pi r^2+1000/r$ があり、$r>0$ となる。
- 停留点を求めるために微分し、分類の妥当性と適用可能な境界を確認する。整数選択の場合、分数の最適解を許容解として扱うのではなく、実現可能な近接整数と比較する。
最適化問題の手順を順序立てて書け。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
目標と許容範囲を示し、必要な箇所で制約条件を使い、停留点の候補を見つけ、分類、境界、離散的な制限を比較する。
蓋付き円柱の最小値。 $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ は $r^3=250/\pi$ を与え、したがって $r\approx4.30$ cm となる。$A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ が正の r に対して成り立ち、A は両端で無限大に発散するため、これは連続モデルにおける全域最小値である。体積の拘束条件により、$h=2r$ が得られる。
平らな蓋と底を持つ円柱容器の体積が500 cm³となるように、シームを無視して表面積を最小にする半径（正の値）を2桁小数で求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A(r) = 2πr² + 1000/r (r > 0)。導関数より r³ = 250/π となり、r ≈ 4.30 cm。正の二階導関数および境界における発散する面積が、全体最小値であることを裏付けている。
定義された依存関係を通じて変化率を結ぶ
- $V=V(r)$ と $r=r(t)$ が与えられたとき、合成関数の微分則により $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$ が得られる。
- 関連する変化率には、要求された瞬間における対応する単位と値が必要である。変化率を積分すると蓄積変化量となり、初期量によって最終合計が決定される。
風船の半径が既知の速度で増大しており、体積の増大速度を知りたいとする。まず何を書くべきか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
まず連鎖律を書き、次に各因子を埋める。これにより問題は2つの通常の微分問題に分かれる。
面積と限界モデルには制限がある
- 二つの曲線間の面積は、指定された領域において上限から下限を引くことで求める。閉じた領域の交点を見つけ、順序の変更点で分割する。外部から指定された区間が代わりに極限を与えることもある。
- 限界コストおよび限界収益は連続モデルの導関数である。これらを等置することで内部の停留利益候補が得られるが、その実現可能性、分類、境界の競合候補の確認が残っている。
2つの交差する曲線で囲まれた有限領域に対して、積分の境界を求めるために何を見つける必要があるか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
関連する交点を見つけ、各区間でどちらの曲線が上にあるか決定し、順序が変わる場合は区間を分割する。外部区間を指定する問題は境界を直接与えることもある。
可微分連続コストモデルにおいて、限界コストは総コストの導関数である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それは瞬間的なモデルのレートである。実際の離散的な1単位の増加は有限差分であり、その導関数と正確に一致しない場合がある。
導関数は必ずしも正確な1単位の増加を示さない。 $C(q)=100+3q+0.2q^2$ において、$C'(10)=7$ となるが、$C(11)-C(10)=7.2$ となる。Sheet 3.3 では、5.5 における連続最大値と、最も良い整数数量である 5 および 6 も比較されている。
缶の半径 r = 4.30 を見つけた。採点者が求める完全な回答文を記せ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
例: 半径は約4.30 cmであり、指定された閉じた円柱の体積モデルの下で表面積を最小化している。
停留点だけでは全域最適であることを確立できない。実現可能な定義域と、他の候補や境界がより良い値を与えられない理由を述べる。容器の開き方、継ぎ目の厚み、あるいは実用的な寸法の拘束条件がモデルを変えることがある。