| English | 意味 |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 積分 |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 定積分 |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | 微積分の基本定理 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 積分定数 |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 置換積分法 |
符号付き蓄積は相殺され得る
- 積分は原函数を取り戻したり、符号付き蓄積を計算したりできる。反定積分が自動的に非負の幾何学的面積であるわけではない。
- 連続な被積分関数に対して、微積分の基本定理は反定積分と境界での評価された原函数をつなぐ。
原函数の族を維持する
- 不定積分は任意の定数の微分が0になるため、積分定数を必要とする。べき乗公式は $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ で、$n\ne-1$ は有効な定義域上である。
- 逆関数の例外は、$\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ がゼロをまたがない区間において成立する。対数式を選択する前に、正または負の定義域に注意を払う必要がある。
x³ の不定積分をxについて求めよ。定数を含むこと。
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指数に1を加えて新しい指数で割り、定数cを加える。なぜなら任意の定数の微分はゼロだからである。
定積分には積分定数が必要である。
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F(b) − F(a) で定数は相殺される。不定積分のみ必要であり、そこでは必須である。
1文の英語で、なぜ不定積分に「+ c」が必要かを説明せよ。
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例: 「任意の定数の微分はゼロなので、元の定数は導関数からは復元できない。」
上限から下限を引く
- 定積分は、原関数法が適用される場合に $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ を与える。両端点を同じ F に代入する。
- C はこれらの評価間で相殺される。幾何学的面積については、曲線が符号を変化させる点や、上下の曲線の順序が入れ替わる点で分割する。
曲線下の面積
$\int_a^b f(x)\,dx$
定積分は、曲線と軸の間の符号付き面積である。
0から3までのx²の定積分を評価せよ。
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[x³/3] from 0 to 3 = 27/3 − 0 = 9。
零の積分、正の面積。 ⟨−1⟩ から ⟨1⟩ までの $y=x$ は $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$ である。幾何学的面積は $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$ である。各三角形領域の面積は半分であり、その符号付き寄与は互いに打ち消し合う。
関数と微分要素の両方を代入する
- 変数置換による積分は合成関数の微分則を逆にする。$u=x^2+1$ において、$du=2x\,dx$ となるため、$\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$ となる。
- 定積分の場合、評価前に境界値を u に変換するか、x に戻す。u の式と x の境界値を混同してはいけない。
2x(x² + 1)⁵ の積分を簡易にする置換はどれか？
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その導関数2xが既に含まれているため、du = 2x dx となり、積分は u⁵ du となる。
原関数を微分して確認する。 また、定義域、積分定数、境界値も確認する。微分のみでは、定積分や幾何学的面積が正しく評価されたことを保証しない。Sheet 3.2 では、速度を用いて変位、総移動距離、最終位置を区別する。
積分の結果を確実に検証する方法は何か？
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提案された原関数を微分し、定義域上で元の被積分関数と比較する。また、定数、境界、符号または幾何学的面積の解釈も確認する。微分だけではこれらのステップは有効化されない。
ある区間で有効な原関数があっても、特異点を含む範囲での評価を自動的に正当化することはできない。上限から下限を引く操作を行う前に被積分関数の定義域を確認する。定積分が単に変位しか与えない場合、初期位置を加える必要がある。