| English | 意味 |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 導関数 |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | 接線の傾き |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | 定義による微分 |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | 累乗則 |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の微分法則 |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の微分法則 |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 合成関数の微分法則 |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | 停留点 |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 二階導関数 |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | 最大値 |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | 最小値 |
有限な平均は局所的な変化を隠す
- $y=x^2$ に対して、x=1から2への接線（セカント）の傾きは3だが、x=1における接線の傾きは2である。
- 導関数は存在する場合の瞬時の極限変化率である。幾何学的には、微分可能な点における接線の勾配を与える。
Slide the second point towards the first
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
The chord becomes the tangent, and its gradient becomes the derivative.
What does the derivative of a function at a point measure?
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Where it exists, the derivative is an instantaneous limiting rate of change and tangent gradient. A definite integral measures signed accumulation, which need not equal geometric area.
0での除算なしに極限を取る
- 定義からの微分は $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$ を用いる。差分商は極限を取る前の非ゼロのhを用いる。
- 両側導関数のために片側極限は一致しなければならない。関数が連続していても、鋭角があることは微分不可能になる原因となり得る。
定義からのべき関数。 $f(x)=x^2$ に対して、商は非ゼロのhで $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ 。その極限は $2x$ 。$|x|$ において0では、商 $|h|/h$ は代わりに右極限が1、左極限が-1となり、そこで導関数は存在しない。
関数の形に応じた法則を選択する
- べき乗則は有効な定義域上で $(x^n)'=nx^{n-1}$ を与える。積の法則は $(uv)'=u'v+uv'$ を与える。
- 商の法則はvが非ゼロのところで $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ を与える。合成の法則は内側の導関数を含む $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ を与える。
Differentiate y = x⁵. Give the derivative.
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Bring the power down and reduce it by one: 5x⁴.
Which rule differentiates y = (3x + 1)⁴?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A function inside a function. The derivative is 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
定常点は分類が必要
- 定常点 は $f'(x)=0$ を持つ。そこでゼロでない 二階微分 が負であれば局所 最大値 、正であれば局所 最小値 となる。
- 二階微分がゼロの場合は判断できない。一階微分の符号や他の証拠を検討すること： $x^3$ はゼロで定常的な変曲点を持ち、最大値でも最小値でもない。
y = x³ − 3x has a stationary point at a positive value of x. What is it?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
dy/dx = 3x² − 3 = 0 gives x = ±1, so the positive one is x = 1.
At a stationary point the second derivative is negative. What kind of point is it?
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Negative second derivative means the gradient is falling through zero, so the curve turns downward.
Put the steps of a stationary-point question in the order that earns the marks.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Find candidate x-values from the derivative, substitute into the original function for their coordinates, and justify classification. A zero second derivative is inconclusive.
両座標を求め、区間を記述する。 シート3.1では、導関数を因数分解して候補となるxの値を見つけ、yを得て元の関数に代入し、その後分類と曲線が増加・減少する区間を検証する。
$dy/dx$ はxについて微分する；yの上にドットがある通常は時間について微分する。これらの表記をすべての問題で交換可能と見なすのではなく、独立変数を明示せよ。ここでは三角関数の微分法則はラジアンを用いる。