| English | 意味 |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数関数 |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | 指数 |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | 自然対数 |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | 複利 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 指数減衰 |
繰り返し乗算によるモデル化
- 指数関数 $y=a^x$ のように、変数が指数にある場合、 $a>0$ および $a\ne1$ となる。
- $a>1$ のとき値は増加し、 $0<a<1$ のとき減少する。等しい時間ステップでは同じ倍率が掛けられ、必ずしも同じ量が増減するわけではない。
Exponential growth against a straight line
$y = a^x$
A constant factor always overtakes a constant amount, however steep the line.
逆関数として対数を用いる
- $\log_a y=x$ は $a^x=y$ を意味する。実対数は正の引数と1以外の正の底を必要とする。
- 自然対数は底 e を用いる。グラフ $y=\ln x$ は $(1,0)$ を通り、垂直漸近線は $x=0$ である；指数関数のグラフはy切片が1で、水平漸近線は $y=0$ である。
What is log₁₀ 1000?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
It asks what power of 10 gives 1000, and 10³ = 1000.
演算則を定義域内で適用する
- 正の m と n で有効な底が共通の場合、 $\log(mn)=\log m+\log n$ および $\log(m/n)=\log m-\log n$ が成立する。
- べきの法則 $\log(m^k)=k\log m$ は指数を积みに取り出す。和の対数を分解する対応する法則はない。
Which law lets you solve for an unknown that sits in an exponent?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The power law brings k down to the front, where it can be divided out. The fourth option is not a law at all.
log(m + n) equals log m + log n.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The addition law applies to a product inside the logarithm, never to a sum.
時間および財務の仮定を明記する
- 複利は期間ごとの指定された利率 $A=P(1+r)^n$ を用い、他のキャッシュフローはない。利率 r は百分率の数値ではなく分数である。
- 指数減衰は0と1の間の倍率を用いる。連続時間の閾値は最初の有効な全期間サンプルとは異なることがある；現実のプロセスではモデルを採用する前に証拠が必要である。
5000 grows at 4% a year. After how many WHOLE years does it first exceed 7000?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, and years are whole, so the answer is 9.
Which base gives exponential decay?
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A base between 0 and 1 shrinks the value at every step. A base of 1 never changes it.
In one English sentence, say when you would use a logarithm to solve an equation.
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Example: "I take logarithms when the unknown is in the exponent, because the power law brings it down."
通年の閾値。 $A(n)=500(1.04)^n$ において、条件 $A(n)>600$ は $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$ を与える。最初の通年は 5 である。厳密な不等式を確認するため、年 4 と 5 をチェックせよ。
方程式とスケッチの定義域を別々に確認せよ。 $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$ において、方程式には $x>1$ が必要で、解は6である。独立した基本グラフ $y=\ln x$ は $x>0$ に対して定義されている。シート1.6は両方の方程式とグラフの特性を練習する。
正の指数減衰モデルは、有限の時間であれば常にゼロより上にある。物理量がゼロとして測定されることは、検出限界やモデルの破綻を反映している可能性があり、必ずしも数式によって予測される正確なゼロではない。