| English | 意味 |
|---|---|
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 係数 |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 定数 |
| term/tɜːm/ | 項 |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | 不等式 |
| equation/ɪˈkweɪʒn/ | 方程式 |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 |
| expand/ekˈspænd/ | 展開 |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 因数分解 |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | 判別式 |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | 連立方程式 |
Represent an unknown relationship
- In $5x^2-3x+7$, 5 is the coefficient 系数 of $x^2$, 7 is a constant 常数, and each separated piece is a term 项.
- A variable can represent many possible values, not just a number waiting to be found. Translate the stated relationship before selecting an operation.
式 5x² − 3x + 7 において、5を何というか。
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係数は文字を含む項を掛ける。ここで定数項は7であり、文字を持たない。
Equality and inequality have different solutions
- An equation 方程 states equality; an identity 恒等式 holds for every allowed value in its domain. An inequality 不等式 uses a comparison and may have a range of solutions.
- Add or subtract the same amount on both sides. Multiplying or dividing an inequality by a negative number reverses its sign; dividing by a possibly zero expression needs separate care.
(x + 1)² = x² + 2x + 1 は恒等式であり、解くべき方程式ではない。
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これはxのすべての値に対して成り立つため、解く必要はない — これは代数に関する事実である。
Expand and factorise
- To expand 展开, distribute multiplication across every bracket term. To factorise 因式分解, express a sum as a product.
- A zero product has at least one zero factor. From $(x-4)(x+3)=0$, obtain $x=4$ or $x=-3$ and check both in the original equation.
(x + 3)(x − 5) を展開し、xの係数を答えよ。
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xの項は−5xと+3xで、合計して−2xとなる。完全な展開形は x² − 2x − 15 である。
Choose a method and check every condition
- For $ax^2+bx+c=0$ with $a\ne0$, use factorisation or $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. The discriminant 判别式 is $b^2-4ac$: positive, zero and negative give two, one and no distinct real roots respectively.
- Simultaneous equations 联立方程 require a solution satisfying all equations. Elimination or substitution can reveal one solution, no solution or infinitely many; check the original pair.
x² − 2x − 15 = 0 の解の一つは負である。それは何か？
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因数分解すると (x − 5)(x + 3) = 0 となるので、x = 5 または x = −3 である。
Balance two ticket purchases. $3a+2s=46$ and $2a+4s=44$. Doubling the first equation gives $6a+4s=92$. Subtraction gives $4a=48$, so $a=12$ and $s=5$. Both original totals are satisfied.
−2x > 6 を解け。
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両辺を−2で割ると不等号の向きが逆になる。x = −4 で検証: −2(−4) = 8 > 6 ✓。
二次方程式の判別式 b² − 4ac = 0 である。この場合、実解はいくつあるか？
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公式の±はゼロを加えたり引いたりするものなので、両方の根は同じ値になる。
Interpret roots after solving. A rectangle with width x and length $x+3$ can give roots 5 and negative 8. Only positive dimensions fit the physical problem. Keep both algebraic roots before explaining the selection; practise this on sheet 1.2.
For $4-2x\leq10$, subtract 4 to get $-2x\leq6$, then divide by negative 2 to get $x\geq-3$. The boundary is included. A single trial value can expose a mistake but does not prove an entire solution set.