Domains, inverses and composition · Higher
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
どのような入力が許容されるか？
- 平方根モデルは、特定の入力に対してのみ実数の出力を返します。単なる式だけでは完全な関数を指定できません。
- この授業では定義域を学びます：関数への入力の許容集合です。
数学的構造を選択せよ
- 定義域と値域を述べてください。逆関数の場合、まず定義域上で関数が一対一であることを確認する必要があります。合成 fg は、まず g を適用し、次に f を適用することを意味します。中間の出力は f に対する許容された入力である必要があります。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why must f(x)=x² have its domain restricted before an inverse is defined?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x² sends both 3 and -3 to 9, so an unrestricted inverse could not choose a single value. Restricting to x≥0 makes the function one-to-one and the inverse √x well defined.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f(x)=√(x-2) において、x≥2 で値域は y≥0 です。y=√(x-2) より、x=y²+2 となります。したがって f inverse(x)=x²+2 （ただし x≥0）です。g(x)=x+3 について、fg(1)=f(4)=√2 です。
Domains, inverses and composition
State the domain and range
Compare the model with the worked case and explain one change.
For f(x)=2x+3, find f inverse(11).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Solve 2x+3=11, giving x=4.
魅力的な近道を検証せよ
- 二乗运算は余分な解を導入することがあります。逆関数を主張する前に、放物線の定義域を制限することは不可欠です。f 内部の水平移動は、グラフの移動方向とは逆向きの符号を持ちます。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての実数全体での二次関数は逆関数を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。
For f(x)=2x+3 and g(x)=x², find fg(4).
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Apply g first: g(4)=16; then f(16)=2×16+3=35.
Every quadratic function on all real numbers has an inverse function.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Squaring can introduce extraneous solutions. Restricting a parabola's domain is essential before claiming an inverse. A horizontal translation inside f has the opposite sign to the graph's movement.
新しい状況を読み解く
- 逆関数の定義域において f(f⁻¹(x))=x を確認する。スケッチを用いて、水平線が元のグラフを一度以上交差しないか検証する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For f(x)=√(x-2), find f(11).
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Substitute into the square root: √(11-2)=√9=3.
Match each composition concept to its meaning.
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Composition order matters because the inner function runs first; its outputs must be allowed inputs of the outer function.
コースでこれを使用する
- 4MA1 · ハイヤー · 3. エクステンションを割り当てる前に、ターゲット・ティアとカリキュラム仕様を一致させてください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
関数に許容される入力の集合。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。