微分方程式と数値解
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
What does the starting value decide?
- A growing population's rate is proportional to its current size. The rate equation describes a whole family until an initial population is supplied.
- This lesson studies initial condition 初始条件: A specified value that selects a particular solution from a family.
Choose the mathematical structure
- For dy/dx=ky, separate variables: dy/y=k dx, giving y=Ae^(kx). Use an initial condition to find A. Euler's method takes y next=y+h f(x,y), with a chosen step h.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
dy/dx=0.5y と y(0)=2 において、初期条件は何を決めるか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分離変数により一般解 y=Ae^(0.5x) が得られ、自由定数 A を持つ。x=0, y=2 を代入すると A=2 が決まり、一般解族の中から一つの特殊解が選ばれる。
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
With dy/dx=0.5y and y(0)=2, y=2e^(0.5x). Euler with h=0.2 gives y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 and y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. The exact second value is about 2.4428.
微分方程式と数値解
dy/dx=ky に対して変数分離を行う：dy/y=k dx より、y=Ae^(kx) が得られる。
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
h=0.2 でオイラー法を用い、y' = 0.5y, y(₀) = 2 のとき、y(₁) を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
オイラー法では、y₁=y₀+h f(y₀)=2+0.2×0.5×2=2.2 となる。
Test a tempting shortcut
- An initial condition determines the integration constant; it is not a replacement for integrating. Dividing by y can omit an equilibrium solution y=0. Euler accuracy depends on step size and the equation.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every step size gives exactly the same Euler approximation. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
その近似に対して、y₂ を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y₁ から繰り返す：y₂=2.2+0.2×0.5×2.2=2.42。
すべてのステップサイズで、オイラーによる近似値は完全に一致する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
初期条件は積分定数を決定するものであり、積分自体に代わるものではない。y で割る操作では平衡解 y=0 が見落とされることがある。オイラー法の精度は刻み幅と式によって決まる。
Interpret a new situation
- For second-order linear equations, combine the complementary function with an appropriate particular integral, then apply the required initial conditions. This is Further Pure scope; check the named unit.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
y=2e^(0.5x) において、x=0 での y の値を求める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x=0 において指数関数は 1 であるため、y=2 となる。
dy/dx=ky を解く際の手順とそれぞれの目的を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分離変数は変数を片側にまとめ、積分して一般解を得、初期条件によって特殊解を選ぶ。
Use this in your course
- edexcel IAL pure mathematics; official unit FP2. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A specified value that selects a particular solution from a family. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.