Binomial expansion and valid approximations
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 二項係数 |
微小な変化は冪にどのように影響するか？
- 微小の変化が量のべき乗に影響を与える。展開式によって、一次および二次の項の大きさを示すことができる。
- この授業では二項係数を学ぶ：有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数である。
数学的構造を選択せよ
- n が正の整数の場合、(a+b)^n は有限の二項展開となる。n が非整数の場合、(1+x)^n を 1+nx+n(n-1)x²/2+... と展開し、|x|<1とする。この形を用いる前に定数を括り出すこと。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For the infinite expansion of (1+2x)^(-1), which condition is required?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The validity condition |u|<1 applies to the whole bracket term u=2x, so |x|<1/2. Using |x|<1 would wrongly accept x=0.9, where the series diverges.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵。 (1+x)^(-1 の場合、最初の3項は 1-x+x² であり、x=0.1 のとき、近似値は 0.91 となるが、正確な値 1/1.1≈0.909091 と異なる。
Binomial expansion and valid approximations
For positive integer n, (a+b)^n is a finite binomial expansion
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find the coefficient of x² in (1+2x)^5.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Choose two of five factors and include 2²: C(5,2)×4=40.
魅力的な近道を検証せよ
- 2x に関する展開において、無限級数が成立するには |2x|<1 が必要であり、単に |x|<1 であるだけでは不十分です。正整数に関する展開は有限であり、そのような収束条件はありません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての二項展開は、正の整数でない冪を含めて有限多項式である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Use 1-x+x² to estimate 1/(1+x) at x=0.1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Substitute 0.1: 1-0.1+0.01=0.91.
Every binomial expansion is a finite polynomial, including powers that are not positive integers.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
An expansion in 2x requires |2x|<1 for the infinite series, not merely |x|<1. Positive-integer expansions are finite and do not have that convergence restriction.
新しい状況を読み解く
- 近似式 alongside 有効性の範囲を明記する。指定された精度を支える十分な項を残し、係数と x を含む項全体を区別せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
How many terms are in the full expansion of (a+b)^5?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The powers run from 0 through 5, giving six terms.
Match each expansion fact to its statement.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Positive-integer powers expand finitely with binomial coefficients; other powers give infinite series that converge only inside the validity interval.
コースでこれを使用する
- Edexcel IAL純数学公式科目P2。他科目によるAccordion効果（ enrichment）はスコープレビューで特定されており、追加の Cash-in要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。