Substitution, parts and partial fractions
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 部分積分法 |
二つの因数を別々に積分することは可能か？
- xe^x のように見かけ上の単純な積も、各因数を別々に積分することで解くことはできません。
- このレッスンでは部分積分法を学びます：积の導関数に基づく積分法です。
数学的構造を選択せよ
- 内側の関数の導関数が因数として現れた場合は置換法を用います。部分積分では ∫u v' = uv - ∫u' v です。有理関数の場合、必要に応じてまず除法を行い、次に部分分数に分解します。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why does the substitution w=x²+1 fit the integral of 2x/(x²+1)?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
With w=x²+1, dw=2x dx, and the integral becomes ∫dw/w=ln|w|+C. Substitution is powerful precisely when the inner derivative appears as a factor.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
∫xe^x dx については、u=x、v'=e^x とおくと、積分値は xe^x-e^x+C となります。∫2x/(x²+1) dx については、w=x²+1 とおき、dw=2x dx となるため、答えは ln(x²+1)+C となります。
Substitution, parts and partial fractions
V/π = integral from 0 to 3 of x² dx = 9
The widget shows the volume integrand y²=x² for y=x; compare the exact value 9 with the volume check.
Evaluate the integral of xe^x from 0 to 1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
An antiderivative is (x-1)e^x. At 1 and 0 it gives 0 and -1, so the integral is 1.
魅力的な近道を検証せよ
- u と v' の選び方が重要です：残りの積分式がより简单になるように選んでください。定積分の置換においては、積分限を変更するか、元の積分限を適用する前に x に戻す必要があります。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
积の積分はそれぞれの因数の積分の积に等しいという主張は誤りです。どの定義または前提条件に反するかを説明しなさい。
Find the coefficient of ln(x²+1) in the integral of 2x/(x²+1).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Substitution w=x²+1 gives dw=2x dx, so the coefficient of ln(x²+1) is 1.
The integral of a product equals the product of its separate integrals.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Choosing u and v prime well matters: the remaining integral should become simpler. In a definite substitution, either change the limits or return to x before applying the original limits.
新しい状況を読み解く
- 微分によって確認してください。x軸周りの回転体の体積には V=π∫y² dx を用い、関数の二乗と関数の積分を混同しないでください。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the volume divided by π when y=x is revolved about the x-axis from 0 to 3.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
V/π=integral x² dx from 0 to 3=[x³/3]=9.
Match each integral to the method that fits it.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Choose the method by structure: an inner derivative suggests substitution, a product of unlike types suggests parts, and an improper rational function needs division first.
コースでこれを使用する
- edexcel IAL数学；公式単元P4。他単元の enrichment（補強）は範囲確認で特定されていますが、追加の必修要件ではありません。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
积の導関数に基づく積分法です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。