Fixed-point iteration
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 反復 |
近似値はどれほど信頼できますか？
- 非線形方程式には便利な厳密解が存在しない場合があります。近似値であっても、それが信頼できる根拠が必要です。
- この授業では**反復法（イテレーション）**を学びます。新しい近似値を前の近似値から計算し、繰り返し更新していく手法です。
数学的構造を選択せよ
- 方程式を x=g(x) の形に変形し、初期値を選び、反復計算を行います。極限 L は L=g(L) を満たす必要があります。固定点付近で |g'(L)|<1 が局所的な収束の判定基準となり、符号区間で四捨五入された根の報告を検証できます。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
f(x)=1/x changes sign between -1 and 1. Why does this NOT prove a root in [-1,1]?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The intermediate value reasoning requires continuity on the whole interval. At the asymptote x=0 the function jumps from negative to positive with no root existing.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x²-x-2=0 に対して x_next=√(2+x) と選んで、初期値 x₀=1 から始めます。すると x₁=√3≈1.73205、x₂≈1.93185 となり、正の固定点は 2 です。2 において g'=1/(2√4)=1/4 であるため、小さな局所誤差は縮小します。平方根による変形は正の根を探しており、負の根 -1 を与えるものではありません。
Fixed-point iteration
Rearrange the equation as x=g(x), choose a starting value and iterate
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find x₁ from x next=√(2+x), x₀=1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Substitute x₀=1: x₁=√(2+1)=√3.
魅力的な近道を検証せよ
- 異なる並べ替えは異なる収束挙動を示す可能性があります。反復値、定義域、および元の方程式を確認してください。平方根による更新では、負の固定点に到達することはできません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
方程式のすべての並べ替えは、いかなる初期値からも同じ解に収束します。この主張は誤りです。どの定義や仮定を違反しているかを説明してください。
Find the positive fixed point.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
At a positive fixed point L=√(2+L), so L²-L-2=0 and L=2.
Every rearrangement of an equation converges to the same root from every starting value.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Different rearrangements can have different convergence behaviour. Check the iterates, domain and original equation; a square-root update cannot reach a negative fixed point.
新しい状況を読み解く
- P3 は方程式の並べ替えと数値反復を用います。本授業ではニュートン法や数値積分を除外しており、これらは他の単元で扱われます。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For x=2, evaluate x²-x-2.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The residual is 2²-2-2=0.
Match each numerical method to its update or rule.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Each method has its own conditions: bisection needs a continuous sign change, Newton needs a nonzero derivative, and the trapezium rule needs equal strip widths.
コースでこれを使用する
- edexcel IAL数学公式単位 P3。他の単位の enrichment は範囲レビューで特定されますが、追加の採点要件ではありません。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
前の近似値を用いて次の近似値を計算し、これを繰り返す更新プロセス。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認して結果を解釈せよ。