積分、面積、蓄積量
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原始関数 |
蓄積された変化量はどれくらいか？
- 速度-時間グラフから瞬時の運動状態がわかる。では、時間の経過とともに蓄積された変位をどう求めればよいか。
- この授業では原関数を学ぶ：与えられた被積分関数の導関数に等しい関数である。
数学的構造を選択せよ
- 多項式の累乗を積分するには、指数を1増やして新しい指数で割ります。任意定数を加え、指定された点を用いてその値を決定します。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
v(t)=3t²-3 が 0≤t≤2 のとき、変位と移動距離が異なるのはなぜか？
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全区間の符号付き積分は変位2を与える。運動はt=1で方向が変わるため、移動距離は分割して計算する：2後方、次に4前方、合計で6となる。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
3x²の原関数は x³+C です。なぜなら、x³を微分すると 3x² になるからです。F(1)=5 ならば、1+C=5 となるため、C=4 であり、F(x)=x³+4 となります。
積分、面積、蓄積量
多項式の累乗を積分するには、指数に1を加え、新しい指数で割る
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
F'(x)=3x²、F(1)=5 のとき、F(x)=x³+C における C を求めよ。
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F(1)=1+C=5 より、C=4。
魅力的な近道を検証せよ
- 不定積分には定数が必要です。各項を積分する際は指数を変更しますが、単に微分のルールをコピーしても正しい結果になりません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての不定積分には唯一つの可能な原関数が存在する。この主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。
その F について、F(2) を求めよ。
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F(x)=x³+4 を用いる：F(2)=8+4=12。
不定積分には、抗微分が唯一つ存在する。
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不定積分には定数項が必要である。各項を積分すると指数が変わり、微分の逆則をそのまま写せば誤った結果となる。
新しい状況を読み解く
- P1では不定多項式積分と、ある一点を用いて定数を求める方法を扱います。定積分、面積および台形則はP2の内容です。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
その F について、F(0) を求めよ。
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F(0)=0+4=4.
各積分の性質を対応する記述にマッチさせよ。
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積分は微分の逆操作であり、定数は不定積分に現れ、曲線が軸と交差する場合は符号付き面積を分割する必要がある。
コースでこれを使用する
- edexcel IAL数学公式単位P1。他単位の enrichment は範囲レビューで特定されるが、追加のcash-in要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
与えられた被積分関数の導関数に等しい関数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。