Continuous distributions and density functions
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | 確率密度 |
高さは確率と同じか？
- 待機時間は区間内の任意の値を取り得る。その確率はグラフの瞬時の高さではなく、面積から導かれる。
- この授業では確率密度関数を学ぶ：ある区間での積分がその確率を与える非負関数である。
数学的構造を選択せよ
- 密度 f は非負であり、その定義域全体での積分が 1 でなければならない。分布関数 F(x) は x までの積分である。連続変数において P(X=x)=0 であり、E(X) は xf(x) の積分である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For a continuous random variable, why is P(X=1)=0 even though the density may be positive at 1?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A density gives probability through integration over an interval. A point interval has zero width, hence zero area, hence zero probability - however tall the density is there.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f(x)=kx が 0≤x≤2 で他では零であるとする。正規化により integral_0^2 kx dx=2k=1 となるため、k=1/2 である。次に P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 であり、E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3 となる。
Continuous distributions and density functions
A density f must be nonnegative and integrate to 1 over its support
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find k when f(x)=kx on [0,2] is a density.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Total density area k[x²/2] from 0 to 2=2k=1, so k=1/2.
魅力的な近道を検証せよ
- 密度が 1 を超えても無効ではない；全面積は 1 でなければならない。分布関数は減少できない。完全なモデルを定義する際は、定義域外の零密度領域を含めること。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
連続変数について P(X=x) は密度の高さ f(x) に等しいという主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
For that density, find P(X≤1).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Probability=integral x/2 from 0 to 1=[x²/4]=1/4.
A continuous variable has P(X=x) equal to the density height f(x).
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Density can exceed 1 without being invalid; total area must equal 1. A cumulative distribution cannot decrease. Include the zero-density region outside the support when defining a complete model.
新しい状況を読み解く
- 一様分布の場合、密度は区間の長さの逆数である。中央値や百分位数を求めるには分布関数を用い、モーメント計算には定義域を考慮した積分を用いる。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For that density, find E(X).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
E(X)=integral x²/2 from 0 to 2=[x³/6]=4/3.
Match each density-function requirement to its statement.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A density may exceed 1 locally; only the total area is fixed at 1. The cumulative function integrates and the expectation weights by x.
コースでこれを使用する
- Edexcel IAL 追加数学；公式単元 S2。他の単元の補完内容は範囲確認で特定されますが、追加の採点要件ではありません。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
ある区間での積分がその確率を与える非負関数である。関係性を選び、方法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。