行列変換、逆行列および固有値
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 |
基底ベクトルはどこへ向かうか？
- 写像は一つの方向に伸縮し、別の方向にすべり変形させる。行列は各基底ベクトルの変換を記録する。
- この授業では行列式を学ぶ：正方行列が可逆かどうかを決定するスカラーであり、2次元においては符号付き面積倍率である。
数学的構造を選択せよ
- 2×2行列 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad-bc であり、行列式がゼロでない場合、逆行列は [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) となる。列ベクトルに変換を行うには左から行列を掛ける。積において右側の行列が最初に作用する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
行列式がゼロであることは、なぜ 2×2 行列に逆行列が存在しないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列式は符号付き面積の縮尺因子である。det=0 は次元を圧縮するため、異なる点の像が重なり、それらを分離する逆変換が存在せず、ad-bc での除算も失敗する。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
A=[[2,1],[0,3]] のとき、det A=6。A(1,2)=(4,6)。その逆行列は [[1/2,-1/6],[0,1/3]]。特性方程式は (2-λ)(3-λ)=0 であり、固有値は 2 と 3 である。
行列変換、逆行列および固有値
行列 2×2 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad-bc であり、行列式がゼロでない場合、その逆行列は [[d,-b],[-c,a]]/(ad-bc) である
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
[[2,1],[0,3]] の行列式を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列式は 2×3-1×0=6 である。
魅力的な近道を検証せよ
- 行列の乗算は一般に交換律を満たさない。行列式がゼロということは、変形によって次元が失われ、逆行列が存在しないことを意味する。固有値と対角化は高度な内容であり、通常のGCSEベクトルの範囲ではない。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
すべての正方行列は逆行列を持つ。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
その行列が (1,2) を変換した後の x 成分を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
最初の変換座標は 2×1+1×2=4 である。
すべての正方形行列に逆行列が存在する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列の積は通常可換ではない。行列式が零であることは、変換が次元を失い逆行列を持たないことを意味する。固有値と対角化は高度な内容であり、通常のGCSEベクトルの範囲ではない。
新しい状況を読み解く
- v≠0 となるように (A-λI)v=0 を解いて固有ベクトルを求めよ。幾何学的意味を説明せよ：このベクトルは変換下でもその直線方向を保つ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
その行列のより大きな固有値を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
この三角行列の固有値は対角成分 2 と 3 で与えられるため、より大きい方は 3 である。
各行列の概念与其役割を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列の積は右から左へ適用され、逆行列が存在するのは行列式がゼロでない場合に限られる。
コースでこれを使用する
- Edexcel IAL 高等数学公式単元 FP3 。他の単元の発展的学習は範囲レビューで特定され、追加の採点要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
正方行列が可逆かどうかを決定するスカラーであり、2次元においては符号付き面積倍率である。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。