Hyperbolic functions and inverse relations
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| hyperbolic cosine/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈkəʊsaɪn/ | 双曲コサイン |
増減が対称な曲線を作ることはありえるのか？
- 垂下したロープは指数関数に関連する曲線形状を持つ。双曲線関数は増減を対称的に組み合わせる。
- この単元では双曲線コサインを学びます。関数 cosh x=(e^x+e^(-x))/2 です。
数学的構造を選択せよ
- sinh x=(e^x-e^(-x))/2 および cosh x=(e^x+e^(-x))/2 と定義します。これらには恒等式 cosh²x-sinh²x=1 が成り立ちます。導関数は sinh' = cosh および cosh' = sinh です。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Which identity do hyperbolic functions satisfy?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Directly from the definitions: (eˣ+e⁻ˣ)²/4 - (eˣ-e⁻ˣ)²/4 = 1. The MINUS sign distinguishes it from the circular identity cos²+sin²=1.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x=ln2 において、e^x=2 かつ e^(-x)=1/2。したがって cosh x=1.25 かつ sinh x=0.75。それらの平方の差は 1.5625-0.5625=1 である。y=sinh x の逆関数を求めるには、e^x に関する二次方程式を解き、正の解を選択する。
Hyperbolic functions and inverse relations
Define sinh x=(e^x-e^(-x))/2 and cosh x=(e^x+e^(-x))/2
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find cosh(ln2).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
e^(ln2)=2 and e^(-ln2)=1/2. Their half-sum is 1.25.
魅力的な近道を検証せよ
- 双曲線の恒等式にはマイナス符号が含まれます。cosh は全実数領域で1対1対応ではないため、通常の逆関数は x≥0 に限定されます。通常の円周三角関数の恒等式をそのまま代入することはできません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
双曲線関数の恒等式は cosh²x+sinh²x=1 です。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明しなさい。
Find sinh(ln2).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Their half-difference is (2-1/2)/2=0.75.
The identity for hyperbolic functions is cosh²x+sinh²x=1.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The hyperbolic identity has a minus sign. cosh is not one-to-one on all real inputs; its usual inverse uses x≥0. Ordinary circular-trigonometric identities cannot be substituted unchanged.
新しい状況を読み解く
- 指数関数の定義を用いて恒等式を証明し、方程式を解く。逆関数の微分や積分を行う前に、その定義域の制限を明記せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find cosh²(ln2)-sinh²(ln2).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1.25²-0.75²=1, agreeing with the hyperbolic identity.
Match each hyperbolic function to its exponential form.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Cosh is the even part and sinh the odd part of eˣ; their derivatives swap them, mirroring - but not copying - sine and cosine.
コースでこれを使用する
- Edexcel IAL 高等数学公式単元 FP3 。他の単元の発展的学習は範囲レビューで特定され、追加の採点要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
関数 cosh x=(e^x+e^(-x))/2 です。関係式を選び、方法を示し、その仮定を確認して結果を解釈しなさい。