Polar curves and area
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| polar coordinate/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnət/ | 極座標 |
曲線を方向によって記述する理由は何か？
- 半径が方向に依存する場合、花弁状の曲線は単純になる。デカルト座標系はこの構造を隠してしまうことがある。
- この授業では極座標を学ぶ：選んだ原点と基準線からの距離 r と角度 θ で位置を記述するもの。
数学的構造を選択せよ
- x=r cosθ および y=r sinθ を用いる。極面積は、正しく選ばれた区間において r² の θ に対する積分の半分である。境界を選ぶ前に対称性と重複軌跡を特定せよ。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why can integrating (1/2)r² over 0 to 2π overcount the area of some polar curves?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Some parametrisations retrace regions within 0 to 2π, so the integral adds the area twice. Identifying symmetry and tracing behaviour first gives the correct interval.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
r=2 かつ θ=π/3 のとき、x=1 および y=√3 となる。円 r=2 について一周分の面積は、A=(1/2) ∫_0^(2π) 4 dθ=4π である。半周なら 2π となり、ディスクのちょうど半分となる。
Polar curves and area
Use x=r cosθ and y=r sinθ
Compare the model with the worked case and explain one change.
For r=2,θ=π/3, find x.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x=r cosθ=2 cos(π/3)=1.
魅力的な近道を検証せよ
- 負の r は同じ射線上の通常の負の距離ではなく、反対方向に点を配置する。パラメータ化により同じ領域が複数回描かれるため、パラメータの完全区間を用いると面積が過大評価されることがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
どの完全なパラメータ区間を用いても、極領域は必ず正確に一度だけカウントされるという主張は誤りである。この主張がどの定義や仮定に違反するか説明せよ。
For a full circle r=2, find area divided by π.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Area/π=r²=4 for the circle.
Using any full parameter interval always counts each polar region exactly once.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Negative r places a point in the opposite direction; it is not an ordinary negative distance along the same ray. A parametrisation may trace the same region more than once, so a full parameter interval can overcount area.
新しい状況を読み解く
- 向きと境界を確定するために十分な点を描け。2つの曲線の間の閉じた領域については、交点を見つけ、各区間で外側の境界となるのはどの半径の平方か判定せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For that circle over a half-turn, find area divided by π.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A half-turn encloses half the circle: area/π=2.
Match each polar relation to its Cartesian partner.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Polar coordinates describe position by distance and angle; areas accumulate in sectors of angle, not strips of width.
コースでこれを使用する
- edexcel IAL 高等数学；公式単位 FP2。他の単位の enrichment は範囲レビューで識別され、追加の cash-in 要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
選んだ原点と基準線からの距離 r と角度 θ で位置を記述する。関係性を選び、手法を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。