Series, finite differences and Taylor expansions
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | テイラー多項式 |
多項式は指数関数を近傍で置き換えられるか？
- 既知の点の近くでは、複雑な関数を多項式の近似で置き換えることができる。近似には中心と有効なスケールが必要である。
- この授業ではテイラー多項式を学ぶ：選んだ中心における関数の導関数から構成される多項式である。
数学的構造を選択せよ
- x=a について、展開が有効なとき、f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... 。a=0 のとき、これはマクローリン展開である。有限和は、項の相殺や標準的な和の公式によって簡略化されることもある。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why does 1+x+x²/2 only approximate eˣ?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The full series is infinite: eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+.... Stopping after three terms discards the tail, so the result is an approximation good only near the centre x=0.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
e^x の最初の3項は 1+x+x²/2 である。x=0.1 のとき、これは 1.105 となり、e^0.1≈1.105170 に近い。k=1 から 5 までの k² の和について、n(n+1)(2n+1)/6 は 5×6×11/6=55 を与える。
Series, finite differences and Taylor expansions
About x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+
Compare the model with the worked case and explain one change.
Use 1+x+x²/2 to estimate e^0.1.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The truncated polynomial is 1+0.1+0.1²/2=1.105.
魅力的な近道を検証せよ
- 階乗はすべてのテイラー係数の分母に位置する。展開の中心が常にゼロとは限らない。中心に近い近似でも、遠方では精度が低下することがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
テイラー多項式は、すべての入力に対して元の関数と常に一致する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
Find the sum of k² for k=1 to 5.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Add the squared terms: 1+4+9+16+25=55.
A Taylor polynomial is always exact for the original function at every input.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The factorial belongs in the denominator of every Taylor coefficient. The expansion centre is not always zero. An approximation close to its centre can be poor far away.
新しい状況を読み解く
- 逆算級数（テレスコーピング級数）については、いくつかの項を書き出し、残る両端の項を特定せよ。テイラー近似については、その次数を明記し、必要に応じて既知の値や余りの推定値と比較せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Find the coefficient of x² in the Maclaurin expansion of e^x.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The second derivative of e^x at zero is 1; divide by 2!=2 to get 1/2.
Match each series tool to its use.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Standard sums handle polynomial terms; Taylor polynomials approximate smooth functions near their centre; telescoping collapses differences.
コースでこれを使用する
- edexcel IAL 高等数学；公式単位 FP2。他の単位の enrichment は範囲レビューで識別され、追加の cash-in 要件ではない。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
選択した中心点における関数の微分から作られる多項式。関係式を選び、手法を示し、その前提条件を確認して結果を解釈せよ。