積分、面積、蓄積量
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原始関数 |
蓄積された変化量はどれくらいか？
- 速度-時間グラフから瞬時の運動状態がわかる。では、時間の経過とともに蓄積された変位をどう求めればよいか。
- この授業では原関数を学ぶ：与えられた被積分関数の導関数に等しい関数である。
数学的構造を選択せよ
- n≠-1 のとき、ax^n の不定積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。定積分は符号付きの蓄積量である。総面積や距離を求める場合は、符号が変わる点で区切って計算する。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
v(t)=3t²-3 が 0≤t≤2 のとき、変位と移動距離が異なるのはなぜか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
全区間の符号付き積分は変位2を与える。運動はt=1で方向が変わるため、移動距離は分割して計算する：2後方、次に4前方、合計で6となる。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
v(t)=3t²-3 について、0≤t≤2 の区間における変位は [t³-3t]_0^2=2 です。v が t=1 で符号を変化するため、移動距離は -[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6 となります。定数項が相殺されるのは、終端値を代入する（定積分）場合に限られます。
積分、面積、蓄積量
n≠-1の場合、ax^n の積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。
モデルと解答例を比較し、1つの違いを説明せよ。
3x² の 0 から 2 までの定積分を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
原関数は x³ です。その値を引いて計算します：2³-0³=8。
魅力的な近道を検証せよ
- 1/x の積分は n=-1 の累乗則ではなく ln|x|+C です。総被積領域の面積が正であっても、有向面積はゼロになり得ます。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
グラフが軸を横切っても、定積分は常に正の総面積に等しいという主張は誤りです。どの定義または前提条件に反するかを説明しなさい。
v=3t²-3 において、t=0 から 2 までの変位を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
変位=[t³-3t] (0から2まで)=8-6=2。
定積分は、グラフが軸を横切った場合でも常に正の面積の総和に等しい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1/x の積分は ln|x|+C であり、n=-1 のべき乗則ではない。総被積面積が正であっても、符号付き面積はゼロになり得る。
新しい状況を読み解く
- 積分の意味を特定し、正しい単位を含める。秒あたりで測定された率は、他の率ではなく基盤となる quantity に積分される。反導関数を微分して確認せよ。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
その運動について、t=0から2までの全距離を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
速度はt=1で符号が変わる。2つの正の距離は2と4であり、合計は6となる。
各積分の性質を対応する記述にマッチさせよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
積分は微分の逆操作であり、定数は不定積分に現れ、曲線が軸と交差する場合は符号付き面積を分割する必要がある。
コースでこれを使用する
- 7357 · Aレベル · Q. 延伸課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様を確認せよ。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
与えられた被積分関数の導関数に等しい関数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。