Elementary antiderivatives, coefficients and domains
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原始関数 |
微分では、指数関数や三角関数の引数にその係数を掛け合わせる。積分ではこの係数をどのように取り消すべきか？
- 微分では、指数関数や三角関数の引数にその係数を掛け合わせる。積分ではこの係数をどのように取り消すべきか？
- この授業では**原関数（反微分）**を学ぶ：指定された区間で、指定された被積分関数の導関数となる関数である。
数学的構造を選択せよ
- 実乗数については、許容される微分可能な領域において、n≠−1 のとき x^n の積分は x^(n+1)/(n+1)+C とする。1/x の積分は、0 を含まない区間において ln|x|+C とする。k≠0 のとき、e^(kx)、sin(kx)、cos(kx) の積分はそれぞれ e^(kx)/k、−cos(kx)/k、sin(kx)/k であり、定数も加える。線形性を用いて和や定数倍に適用し、微分によって検証せよ。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
Why is the integral of 1/x not x⁰/0 or any power rule case?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The power rule divides by n+1, which fails exactly at n=-1. That gap is filled by the logarithm: (ln|x|)′=1/x on either side of zero, with |x| covering negative inputs.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x （x>0）に対して、F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C である。各導関数は対応する項を取り戻す。x<0 においては、5/x を 5ln(−x) または 5ln|x| で積分する。不連結な区間では定数が異なることがある。3cos(3x) の ⟨0 から π/6 までの積分は sin(π/2)−sin 0=1 である。F′=6x² かつ F(1)=7 のとき、F=2x³+5 となる。k=0 のとき、e^(kx)=1 および cos(kx)=1 は x+C に積分され、sin(kx)=0 は C に積分される。k=0 で除算してはならない。
Elementary antiderivatives, coefficients and domains
For real powers on an allowed differentiable domain, integrate x^n as x^(n+1)/(n+1)+C when n≠−1
Check the hypothesis, endpoints and coefficients behind each integral calculation.
For F′=6x² and F(1)=7, find the integration constant.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
7=2×1³+C gives C=5.
魅力的な近道を検証せよ
- n=−1 の冪は、零で除算することではなく、別個の対数ケースである。正弦の原関数の符号を維持し、引数の係数で除算せよ。ln x だけでは負の x をカバーできない。不定積分には定数が必要であり、有効な上限と下限が与えられた場合、定積分は数値的値を持つ。実分数乗は定義域を制限することがある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
cos(kx) の積分は k=0 を含むすべての場合において常に k sin(kx) となる。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。
Find the worked definite integral of 3cos(3x).
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The antiderivative sin(3x) gives sin(π/2)−sin 0=1.
Integrating cos(kx) always gives k sin(kx), including k=0.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The n=−1 power is a separate logarithmic case, not division by zero in the power formula. Keep the sign in the sine antiderivative and divide by the argument coefficient. ln x alone does not cover negative x. An indefinite integral needs a constant; a definite integral has a numerical value when valid limits are supplied. A real fractional power may restrict the domain.
新しい状況を読み解く
- 項ごとに微分して係数と符号を確認し、対数や分数乗を使用する前に区間を明記せよ。H2 で名付けられた初等形式は、冪、e^(kx)、1/x、sin(kx)、cos(kx) である。他の形式は個別の正当化が必要であり、追加の必須 H2 形式として断定的に示されるものではない。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
Evaluate the derivative of 5ln|x| at x=−2.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The derivative is 5/x on either allowed interval, giving −5/2.
Match each integrand to its antiderivative.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Verify every antiderivative by differentiating back; sine carries the minus sign, and k=0 degenerates to constants needing separate treatment.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · H. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様を確認してください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
指定された区間で指定された被積分関数の導関数となる関数である。関係性を選び、方法を提示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。