基本定理と蓄積された変化
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | 蓄積関数 |
流量計は変化する率を報告する。蓄積体積が微分されることでどのように同じ率が復元されるか？
- 流量計は変化する率を報告する。蓄積体積が微分されることでどのように同じ率が復元されるか？
- この授業では蓄積関数を学ぶ：固定された始点から可変の終点までの符号付き積分の値を持つ関数である。
数学的構造を選択せよ
- 区間上で連続な f に対して、A(x)=a から x までの f(t) dt の積分には A′(x)=f(x) が成り立つ。F′=f ならば、a から b までの定義積分は F(b)−F(a) である。これら2つの方向は蓄積と微分の関連性を結ぶ。ダミー変数 t は積分され、x は移動する終点である。A(g(x)) に対しては合成関数の法則を適用する：その導関数は f(g(x))g′(x) である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
A(x)=∫₁ˣ(3t²-2)dt において、なぜ A(2)=5 と A′(2)=10 は異なる値になるのか？
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基本定理には二つの方向がある：蓄積は微分して被積分関数に戻り、A′(x)=f(x) となる。一方、定積分 F(b)-F(a) は総変化量を表す。ここでは x³-2x+1 に 2 を代入すると 5 だが、f(2)=10 である。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
A(x)=1からxまでの(3t²−2)の定積分とする。不定積分はt³−2tであるため、A(x)=x³−2x+1、A(1)=0、A(2)=5、A′(2)=10となる。したがって、蓄積変化量5は端点における率10と異なる。B(x)=1からx²までの(3t²−2)の定積分の場合、B′(x)=(3x⁴−2)2xであり、x=1のときこれは2である。独立して、F′=3x²−2かつF(1)=4ならば、F=x³−2x+5となる。その変化量F(2)−F(1)=5はA(2)と一致するが、初期値はゼロではない。
基本定理と蓄積された変化
区間で f が連続の場合、A(x)=a から x までの f(t) dt の積分は A′(x)=f(x) を満たす。
各積分計算の背後にある仮定、端点および係数を確認せよ。
計算済みの累積関数 A(2) を求めよ。
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A(2)=8−4+1=5.
魅力的な近道を検証せよ
- 下限がゼロでない場合でも、下側の原関数の値を引く。定義積分は自動的に正の総面積ではなく、符号付きの変化である。A′(x) は原関数ではなく、終端における被積分関数の値である。関連する区間での連続性は十分条件であり、零における 1/t のような特異点にまたがって積分してはならない。移動する終点 x² も合成関数の因数を提供する。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
蓄積関数の導関数は常に蓄積総和である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反するかを説明せよ。
A′(2) を求める。
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A′(2)=3×4−2=10.
蓄積関数の導関数は常にその蓄積総量である。
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下限がゼロでない場合でも、下位原関数の値を差し引く。定積分は符号付きの変化であり、自動的に正の面積の総和ではない。A′(x) は終点における被積分関数の値であり、原関数ではない。関連する区間での連続性が十分条件である； pole（極）を持つ 1/t のような関数を零点で積分してはいけない。動く端 x² もその連鎖則の因子を提供する。
新しい状況を読み解く
- 蓄積変化には、率の単位に入力の単位を掛けて使用せよ。A(a)=0 を確認し、最終的な式を微分して f を復元せよ。初期値は状態関数の定数を決定するが、定義積分の変化は任意の原関数の定数に依存しない。この授業では定理と基本的な変数境界の例を示す；反実積分はこの取扱いの範囲外である。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
動点端の例題で B′(1) を求める。
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B′(1)=(3−2)×2=2.
各定理の成分をその記述に割り当てよ。
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ダミー変数 t は積分によって消去される。端点 x が答えに依存する要素であり、非線形な端点は独自の連鎖因子をもたらす。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · H. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様を確認してください。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
固定された始点から可変の終点までの符号付き積分の値を持つ関数。関係性を選び、方法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。