Tangent and normal equations and gradient conditions
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| normal line/ˈnɔːml laɪn/ | 法線 |
道路の接線は局所的な進行方向を示し、交差する道は法線に従います。なぜ両方の直線は同じ曲線の点を使用しなければならないのでしょうか？
- 道路の接線は局所的な進行方向を示し、交差する道は法線に従います。なぜ両方の直線は同じ曲線の点を使用しなければならないのでしょうか？
- この授業では法線を学習します：曲線上の一点を通り、その点における接線に垂直な直線です。
数学的構造を選択せよ
- 微分可能な点 (a, f(a)) において、接線の傾きは m=f′(a) であり、その式は y−f(a)=m(x−a) です。有限かつゼロでない m の場合、法線の傾きは −1/m です。与えられた傾きの条件を満たす点を見つけるには、f′(x) について解き、元の f を評価します。平行な直線は等しい傾きを持ちます；有限かつゼロでない垂直な直線の傾きの積は −1 です。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
At x=1 on f=x³-3x the tangent is horizontal. What is the normal?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The normal is perpendicular to the tangent; a horizontal tangent (m=0) forces a vertical normal, stated as x=1. The formula -1/m applies only to finite nonzero m.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f=x³−3x (x=2)において、f(2)=2かつf′(2)=9である。接線はy−2=9(x−2)、すなわちy=9x−16となる。法線はy−2=−(1/9)(x−2)である。y=9x+4に平行な接線は3x²−3=9を満たし、x=±2: 点(2,2)および(−2,−2)を与える。二番目の接線はy+2=9(x+2)である。x=1では接線は水平y=−2、法線は垂直x=1であり、ゼロの有限の負の逆数は存在しない。(5,0)にある円について、接線は垂直x=5、法線は水平y=0である。(−2,−2)と(2,2)を通る割線の傾きは1であり、いずれかの局所接線の傾き9とは異なる。
Tangent and normal equations and gradient conditions
At a differentiable point (a,f(a)), the tangent gradient is m=f′(a) and its equation is y−f(a)=m(x−a)
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For f=x³−3x, find the tangent gradient at x=2.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f′=3x²−3, giving 9 at x=2.
魅力的な近道を検証せよ
- 導関数は座標ではなく傾きを供給します。点には元の曲線を使用してください。法線の逆数にはマイナス記号が含まれており、水平な接線に対しては利用できません。代わりに垂直な直線を指定してください。接線が他の点で曲線と再び交わることがあります。特定の直線の切片は平行な傾きの条件に影響を与えませんが、接線と法線の両方は指定された曲線上の点を通らなければなりません。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
水平な接線に対する法線は、有限の傾き zero を持ちます。この主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。
Find the normal gradient there.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
For the finite nonzero tangent gradient 9, the normal gradient is −1/9.
A normal to a horizontal tangent has finite gradient zero.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The derivative supplies a gradient, not the y-coordinate. Use the original curve for the point. The normal’s reciprocal includes a minus sign and is unavailable for a horizontal tangent; give a vertical line instead. A tangent can meet the curve again elsewhere. A given line’s intercept does not affect a parallel-gradient condition, but both tangent and normal must pass through the stated curve point.
新しい状況を読み解く
- 点と傾きを別々に見つけ、点斜式を用いてください。傾きの条件が複数の入力を生む場合は、許可されたすべての点と直線を保持してください。水平・垂直の場合は、無限大の数値的な傾きを想定せずに述べてください。直線が点を通ること、および有限かつゼロでない接線／法線の傾きの対の積が −1 であることを確認してください。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
How many tangents to f are parallel to y=9x+4?
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3x²−3=9 has the two allowed inputs ±2.
Match each line at (a,f(a)) to its equation or gradient.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The derivative supplies the gradient and the ORIGINAL curve supplies the point; the two must be evaluated separately at the same x.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
曲線上の一点を通り、その点における接線に垂直な直線です。関係性を選び、方法を提示し、仮定を確認して結果を解釈してください。