パラメータ微分と垂直な接線
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| parametric gradient/ˌpærəˈmetrɪk ˈɡreɪdɪənt/ | パラメータ曲線の傾き |
2つの座標が同じスライダーに依存しています。それらの別々の速度はどのように曲線の傾きに組み合わさりますか？
- 2つの座標が同じスライダーに依存しています。それらの別々の速度はどのように曲線の傾きに組み合わさりますか？
- この授業ではパラメータ勾配を学習します。x の速度がゼロでない場合、パラメータ化された曲線上での y の速度と x の速度の比です。
数学的構造を選択せよ
- x=x(t)、y=y(t) である場合、連鎖律より dy/dt=(dy/dx)(dx/dt) となるため、dx/dt≠0 のとき dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) です。2つの座標を別々に微分した後、y-over-x の順序で割ります。点は同じパラメータ値から得られます。パラメータが物理時間を表す必要はありません。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
x=t²+1, y=t³-3t において t=2 のとき、なぜ dy/dx=9/4 なのか？
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y の変化率は x の変化率で割るものであり、逆ではない。両微分値は同じパラメータ値から得られ、点 (5,2) もまた t=2 から導かれる。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
x=t²+1、y=t³−3t について、dx/dt=2t および dy/dt=3t²−3 です。t=2 のとき点は (5,2) であり、勾配は 9/4 なので、接線は y−2=(9/4)(x−5) となります。t=1 のとき点 (2,−2) は水平な接線 y=−2 を持ちます。これは dy/dt=0 である一方 dx/dt=2 であるためです。t=0 のとき点 (1,0) は垂直な接線 x=1 を持ちます：dx/dt=0 だが dy/dt=−3≠0 です。正則な局所パラメータ化では、x の瞬間的な変化がゼロの間に y が変化します。x=2cos t、y=3sin t について、t=π/4 のとき点は (√2,3√2/2) であり、傾きは −3/2 です。t=0 のとき楕円の接線は垂直で x=2 です。
パラメータ微分と垂直な接線
x=x(t), y=y(t) に対して、連鎖律により dy/dt=(dy/dx)(dx/dt) となるため、dx/dt≠0 のとき dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) である。
適切な置換変数を特定し、導関数の分母または局所枝を検証する。
t=2 における三次元パラメータ表示で dy/dx を求める。
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t=2 において dy/dt=9 および dx/dt=4 であるため、その比は 9/4 となる。
魅力的な近道を検証せよ
- この比は dy/dt を dx/dt で割ったものであり、その逆ではありません。両方の速度がゼロの場合、0/0 は結論的ではありません：x=t³、y=t³ は依然として原点を通る傾き 1 の y=x をトレースします。dx/dt=0 のみである場合、有限の数値勾配を報告するのではなく、局所的な曲線を inspect してください。繰り返される x の値は異なる y の値や分支に対応する可能性がありますので、明記されたパラメータ値を維持してください。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
両方のパラメータ座標の速度がゼロの場合、曲線には接線があってはならないという主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。
同じ曲線の t=1 における dy/dx を求める。
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t=1 において、分子はゼロであり分母は 2 であるため、結果はゼロとなる。
両方のパラメータ座標の比率がゼロの場合、曲線に接線がないはずである。
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比は dy/dt を dx/dt で割ったものであり、逆数ではない。両方の速度がゼロになる場合、0/0 は結論を導けない：x=t³, y=t³ でもなお原点を通る傾き 1 の直線 y=x を描く。dx/dt=0 が単独でゼロでない場合、有限な数値勾配を報告するのではなく局所的な曲線を調べるべきである。反復する x 値が異なる y 値や分岐に対応することがあるため、指定されたパラメータの値を維持せよ。
新しい状況を読み解く
- 座標対を求め、両方の第一誘導関数を計算し、その比が有効かテストする。適切な場合は水平・垂直の接線を別々に記述し、パラメータの範囲を保持する。パラメータを除外することで単純な局所関係が得られる場合、検算を行う。G5は第一誘導関数のみを要求する；第二パラメータ誘導関数は本レッスンの範囲外である。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
t=π/4 における楕円について、dy/dx を求める。
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(3cos t)/(−2sin t) は π/4 において −3/2 となる。
各参数曲線の状況を、その解釈に割り当てよ。
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x の変化率がゼロだけでは商の定義を許さないが、接線を除外するものではない。x=t³, y=t³ では両方の変化率がゼロにもかかわらず、曲線の傾きは 1 となる。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
x の速度がゼロでない場合、パラメータ化された曲線上での y の速度と x の速度の比です。関係式を選び、方法を提示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。