Implicit first derivatives and tangent domains
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| implicit relation/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃn/ | 暗黙的関係 |
円には上部枝と下部枝がある。平方根を先に解かずに接線の勾配を求めるにはどうすればよいか？
- 円には上部枝と下部枝がある。平方根を先に解かずに接線の勾配を求めるにはどうすればよいか？
- この授業では暗黙の関数関係を学習します。x と y の関係を表す式で、片方を他方の明示的な関数として解き出していないものです。
数学的構造を選択せよ
- y を x の可微分な局所的な関数とみなします。全体の関係式を x で微分すると、y を含む項は連鎖律により dy/dx の係数が付きます。dy/dx を含む項を集めて、その係数がゼロでない場合について解きます。微分した関係式が A(x,y)+B(x,y)y′=0 となる場合、y′=−A/B（ただし B≠0）であり、勾配は選択された局所分支に属します。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
For x²+y²=25, why does differentiating y² produce 2y dy/dx rather than 2y?
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Implicit differentiation treats y as y(x): d(y²)/dx=2y·y′. Dropping the factor loses the unknown you are solving for; collecting the y′ terms then gives y′=-x/y.
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
For x²+y²=25, differentiate to 2x+2y y′=0, hence y′=−x/y for y≠0. At (3,4), the tangent gradient is −3/4 and y−4=−(3/4)(x−3); the normal gradient is 4/3. At (5,0) the tangent is vertical, x=5, and no finite dy/dx exists. For x²+xy+y²=7, differentiate the product xy to y+x y′. Then 2x+y+(x+2y)y′=0, so y′=−(2x+y)/(x+2y). At (1,2), which satisfies the relation, the gradient is −4/5. For e^y+x=3, e^y y′+1=0, giving y′=−e^(−y); at (2,0) the gradient is −1.
Implicit first derivatives and tangent domains
Treat y as a differentiable local function of x
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
For the circle at (3,4), find dy/dx.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
The circle derivative is −x/y; at (3,4) it is −3/4.
魅力的な近道を検証せよ
- y² を微分すると 2y y′ となり、2y や 2(y′)² ではありません。積 xy については y と x y′ の両方が必要です。提供された点が元の関係式上にあることを確認してから、その接線を割り当てます。分母がゼロになる場合は垂直な接線または特異点を示唆する可能性がありますが、分数だけですべてのケースを分類することはできません。例えば x²+y²=0 は滑らかな円の接線ではなく、単一の離散実点のみを持ちます。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
x に対して y² を微分して dy/dx の係数なしに 2y を得るという主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。
For x²+xy+y²=7 at (1,2), find dy/dx.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Collect (x+2y)y′=−(2x+y); the point gives −4/5.
Differentiating y² with respect to x gives 2y without a dy/dx factor.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Differentiating y² gives 2y y′, not 2y or 2(y′)². The product xy needs both y and x y′. Verify a supplied point lies on the original relation before assigning its tangent. A zero denominator may indicate a vertical tangent or a singular point; the fraction alone cannot classify every case. For example x²+y²=0 has only one isolated real point, not a smooth circle tangent.
新しい状況を読み解く
- 各項を微分し、すべての連鎖・積の因子を残したままy′を含む項をまとめ、結果として生じる分母の条件を述べる。元の点で評価し、点傾き形式を用いて接線を求める。水平な接線は有限の傾きがゼロであり法線は垂直である。垂直な接線には独自の直線方程式が必要である。本レッスンは第一誘導関数のみを使用し、G5に対応する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
For e^y+x=3 at (2,0), find dy/dx.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
e^y y′=−1; at y=0 this gives −1.
Match each implicit-differentiation case to its outcome.
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
Verify the point lies on the relation first; a zero denominator signals a vertical tangent or singular point, not a finite gradient.
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
x と y の関係を表す式で、片方を他方の明示的な関数として解き出していないものです。関係式を選び、方法を提示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。