連動率、幾何学、および時間単位数。

語彙

English	意味
connected rates/kəˈnektɪd reɪts/	連動する変化率

球体の体積が一定の割合で増加する場合、その半径も一定の割合で増加するか？

球体の体積が一定の割合で増加する場合、その半径も一定の割合で増加するか？
この単元では**関連する変化率（connected rates）**を扱う：同じ時間変数によって変化する quantities の間の関係式によって結びついている変化率である。

数学的構造を選択せよ

y=f(x) であり x が時間 t に依存する場合、dy/dt=(dy/dx)(dx/dt) となる。変化量間の関係式を導き、時間を約して微分し、その瞬間の測定値を代入する。時間変数および各変化率の符号と単位を保持する。球体について V=(4/3)πr³ および A=4πr² であるため、dV/dt=4πr² dr/dt および dA/dt=8πr dr/dt となる。
計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

実践

なぜ t で微分する前に V=(4/3)πr³ に半径を代入してはいけないのか？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

r を定数として代入すると、変化する率をつなぐ関係式 dV/dt=4πr² dr/dt が失われる
代入は常に安全である
π は定数だからである

検証済みケースを解く

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt},\qquad\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

Example

半径が 3 cm で体積が 18π cm³/s の割合で増加する球体がある。その瞬時の半径の変化率は 18π/(4π×9)=1/2 cm/s であり、表面積の変化率は 8π×3×(1/2)=12π cm²/s である。これは局所的な変化率であり、r が大きくなると、同じ体積変化率でも半径の変化率は小さくなる。全高の半分が全径である円錐容器では、相似比によりすべての水位で r=h/2 となる。したがって V=πh³/12 であり、dV/dt=(πh²/4)dh/dt となる。h=4 cm かつ流入量が 8π cm³/s のとき、dh/dt=2 cm/s となる。固定された 5 m の梯子について、x²+y²=25 であり、(x,y)=(3,4) m かつ dx/dt=0.2 m/s のとき、dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 m/s となり、上端は下降する。

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