対応する点における逆関数の微分
導入済み| English | 意味 |
|---|---|
| inverse derivative/ɪnˈvɜːs dɪˈrɪvətɪv/ | 逆関数の導関数 |
較正は長さを読み値に変換する。出力の逆数を取ることなく、その局所的な変化率を逆転させるにはどうすればよいか？
- 較正は長さを読み値に変換する。出力の逆数を取ることなく、その局所的な変化率を逆転させるにはどうすればよいか？
- このレッスンでは逆関数の導関数を学ぶ：逆出力が入力に対しての変化率を、対応する元の点で評価したもの。
数学的構造を選択せよ
- f が指定された区間で単射であると仮定し、g=f⁻¹ とおく。恒等式 f(g(v))=v から f′(g(v))g′(v)=1 が得られる。導関数が存在し f′(g(v))≠0 ならば、g′(v)=1/f′(g(v)) となる。逆関数は元の出力 v で評価され、必ずしも元の入力 x で評価されるわけではない。逆数 1/f(x) は異なる関数である。
- 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。
f(x)=x²+1 (x≥0) に対して、なぜ g′(10) に f′(3) を用い、f′(10) を用いないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆関数の v=10 は元の入力 3 に対応し、ここで f′(3)=6。f′(v) をそのまま使うと 1/20 となり、これが典型的な「誤った点」のミスである。
検証済みケースを解く
- 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。
f(x)=x²+1（x≥0）に対し、g(v)=√(v−1)、v≥1とする。v=10において、g(10)=3かつf′(3)=6なので、g′(10)=1/6である。x≤0における逆関数枝は−√(v−1)であり、g(10)=−3かつg′(10)=−1/6である。f=e^x、g=ln vの場合、f′(g(v))=e^(lnv)=vなので、g′=1/v（v>0）である。f=sin x（−π/2≤x≤π/2）に対してg=arcsin vとする。範囲内は−1<v<1, cos(g(v))=√(1−v²)>0であり、g′=1/√(1−v²)である。非負の余弦は制限された正弦枝に由来し、任意の符号選択ではない。
対応する点における逆関数の微分
f が指定された区間で単一であると仮定し、g=f⁻¹ とする
適切な置換変数を特定し、導関数の分母または局所枝を検証する。
正の二次関数の枝に対して、g′(10)を求める
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対応する正の入力は3であり、f′(3)=6なので、1/6となる
魅力的な近道を検証せよ
- 対応する点の分母 f′(g(v)) を f′(v) で置き換えてはいけない。一対一の性質だけでは有限な逆関数の勾配を保証しない: x³ は逆関数を持つが、その導関数は零で、立方根もそこで有限な導関数を持たない。ルートやアークサインの逆関数の端点も有限な勾配を持たないことがある。異なる逆関数の枝は異なる符号を与える可能性がある。
- 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。
逆関数の微分は常に 1/f′(v) で、逆関数の入力 v について評価される。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。
g(v)=ln v のとき、g′(4)を求める
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
ln4 における指数関数の微分は 4 なので、その逆の比率は 1/4 である
逆関数の微分は常に、逆関数の入力 v において 1/f′(v) で評価される
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対応する点の分母 f′(g(v)) を f′(v) に置き換えないでください。単一性（one-to-one）のみでは有限な逆勾配を保証しません：x³ は単一ですが、その微分はゼロで、立方根もそこで有限な微分を持ちません。根やアークサインの逆関数の端点でも有限な勾配を持たないことがあります。異なる逆関数の枝は異なる符号をもたらすこともあります
新しい状況を読み解く
- 元の定義域を制限し、逆関数の入力・出力のペアを見つけ、f を微分して得られた元の入力でその導関数を評価する。その後、その有限な勾配がゼロでない場合にのみ逆数をとる。逆関数の率に対して水平軸と垂直軸の単位を入れ替える。利用可能な明示的な逆関数を微分して結果を確認する。
- 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。
負の二次関数の枝に対して、g′(10)を求める
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対応する負の入力は −3 であり、f′(−3)=−6 なので、−1/6 となる
各逆関数の導関数の事実とその説明を対応させよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
異なる枝では符号が異なる： x≤0 のとき、同じ v=10 は -3 に対応し、g′(10)=-1/6 となる。
コースでこれを使用する
- 7357 · A-Level · G. 拡張課題を割り当てる前に、対象となるレベルとカリキュラム仕様書を確認する。
- 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。
逆関数の入力を対応する元の点について評価した、逆関数の出力の変化率。関係式を選び、手法を示し、その仮定を検証して結果を解釈せよ。